• Keine Ergebnisse gefunden

Aufgabe X.3 a) Beweisen Sie die folgenden Identit¨aten: sin π 6 = 1 2, sin π cos π cos π 3 = 1 2 und sin π 4 = r1 2, cos π 4 = r1 2

N/A
N/A
Info
Herunterladen
Protected

Academic year: 2021

Aktie "Aufgabe X.3 a) Beweisen Sie die folgenden Identit¨aten: sin π 6 = 1 2, sin π cos π cos π 3 = 1 2 und sin π 4 = r1 2, cos π 4 = r1 2"

Copied!
1
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Jetzt herunterladen ( 1 Seite )

Volltext

(1)

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis I Blatt X vom 16.12.2009

Aufgabe X.1

Seif : [0,1]→Rstetig mit f(0) =f(1) = 0, f(x)>0 f¨urx∈(0,1).

Beweisen Sie, dass zu jedema∈(0,1) einx∈(0,1−a) existiert mit f(x) =f(x+a).

Aufgabe X.2

Es seien 0< a < bund f : [a, b]→[0,∞) stetig mitf(a) =f(b) = 0.

Beweisen Sie die Existenz einer Zahl λ≥0 mit den Eigenschaften f(x)≤λx f¨ur allex∈[a, b]

und

f(ξ) =λξ f¨ur ein ξ∈(a, b).

Aufgabe X.3

a) Beweisen Sie die folgenden Identit¨aten:

sin π

6

= 1 2, sin

π 3

= 1 2

√3, cos π

6

= 1 2

√3, cos π

3

= 1 2 und

sin π

4

= r1

2, cos π

4

= r1

2.

b) Berechnen Sie ohne Verwendung technischer Hilfsmittel die folgenden Werte sin

−15 3 π

, tan

5 3π

, cos

−7 6π

, cot

7 4π

, tan

−3 4π

.

1

Referenzen

Jetzt herunterladen ( PDF - 1 Seite - 24.98 KB )

ÄHNLICHE DOKUMENTE

() ⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ t cos t ()= ! 2 π () xt t sin t 2 π

Eine falsche Grundvorstellung ist die nun Annahme, die jeweiligen Bogenlängen von Farbwechsel zu Farbwechsel bildeten eine arithmetische Folge mit dem Zuwachs 2π.. Dies

2 π n () () () ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ t at cos + b t cos t ()= ()= ! ! ba ba () () () xt xt , t ∈ , 0,6 t π⎡⎣⎤⎦ ∈− , − + 6 π⎡⎣⎤⎦ t at sin + t b sin t

Somit kann jede archimedische Spirale mit einer Drehstreckung auf die archimedische Standardspirale (mit gleicher Windungszahl) abgebildet werden.. Daraus folgt aber, dass

() () () () ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥ ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ cos u cos v cos u cos v () () [] ()= () () ! cos u cos v π π ⎡⎣⎤⎦ xu , v cos u sin v ; u ∈− , , v ∈− π , π () () [] 2 2 () ()= cos u sin v ! () () π π sin u ⎡⎣⎤⎦ xu , v ; u ∈− , , v ∈− π , π 2 2 () cos u sin v

Für p = –2 ergibt sich die Astroide (glaube ich)... 1: Variation

() ()() () {} ⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ π π π = n cos n , n sin n , n ∈ 0,1,2,3,... t cos t n ()= () 4 4 ! 4 + A xt , t ∈ " π t sin t 4

Bearbeitung und Adaptation der Aufgabe 56-667 von Thomas Jahre 1 Worum geht es.. Beispiel einer einfachen eckigen

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥ () cos kt ∑ ( () ⎤⎦ = , t ∈−π , π sin kt ∑ K

Es handelt sich nicht um die übliche Kardioide, sondern um die in [4] beschriebene Herzkurve... Dieser Sach- verhalt wird auch in den Abbildung

() ()= () 2 2 2 2 2 n n ≥ = 3 3 π π π π b r π = − = 2 a a sin + d − 2 ad cos π − a + d + 2 ad cos n n n n

Das ist statisch sehr ungünstig und dürfte in der Praxis kaum

⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ () () n cos t cos nt ()= ! π π ⎡⎣⎤⎦ () () c : x t , t ∈− , , n ∈ " n n 2 2 n cos t sin nt

Es sieht nun so aus, dass c n und c − n (sie haben jeweils dieselbe Farbe) durch eine Kreisspiegelung am Einheitskreis auseinander hervor gehen.. Dies ist global

43 12 S = 4 π () () ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥ V M Kugel = = π π cos u cos v Kugel Kugel [] ()= () () () ! π π ⎡⎣⎤⎦× xu , v cos u sin v , u , v ∈− , 0,2 π 2 2 () sin u

Die Schraubenlinie passt auf eine Schraubenfläche (Abb. 7, grün), welche die schwarze Spindelachse als Achse hat.. Dies