43 12 S = 4 π () () ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥ V M Kugel = = π π cos u cos v Kugel Kugel [] ()= () () () ! π π ⎡⎣⎤⎦× xu , v cos u sin v , u , v ∈− , 0,2 π 2 2 () sin u

(1)

Hans Walser, [20170718]

Kosinusspindel

Indirekte Anregung: F. H., B.

1 Worum geht es?

Rotationsfläche mit einer Kosinuskurve als Meridian.

2 Parameterdarstellungen 2.1 Einheitskugel

Wir gehen aus von der klassischen Parameterdarstellung der Einheitskugel (Abb. 1):

x u,!

( )

v ⁼

cos

( )

u ^cos

( )

^v

cos

( )

u ^sin

( )

^v

sin

( )

u

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

,

( )

u,v ^{∈ −}_⎡⎣ ^π₂^,^π₂_⎤⎦×

[

^0,2π

]

⁽¹⁾

Abb. 1: Einheitskugel

2.1.1 Erinnerung an die Schule

Die Einheitskugel hat das Volumen V_Kugel = ⁴₃π, die Oberfläche S_Kugel=4π und die Meridianfläche (halbe Achsenschnittfläche) M_Kugel= ¹₂π.

2.2 Kosinusspindel

Wir ändern die Parameterdarstellung (1) wie folgt:

(2)

x u,!

( )

v ⁼ ^cos

( )

^u ^cos

( )

^v

cos

( )

u ^sin

( )

^v

u

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥,

( )

u,v ^{∈ −}_⎡⎣ ^π₂^,^π₂_⎤⎦×

[

^0,2π

]

⁽²⁾

Dies führt zur Fläche der Abbildung 2.

Abb. 2: Kosinusspindel

Die Kosinusspindel hat die Kosinuskurve für ⎡⎣−^π₂,^π₂⎤⎦ als Meridian. Daher der Name (ad hoc Bezeichnung).

Die Abbildung 3 zeigt die Relation zur Einheitskugel.

(3)

Abb. 3: Relation zur Einheitskugel

3 Schulmäßige Berechnungen 3.1 Volumen

V_Spindel=π cos²

( )

u ^du

−^π₂

π2

∫

⁼ ¹²^π² ⁽³⁾

Die „schöne“ Formel führt zur Frage, ob es weitere Figuren gibt, deren Volumenformel aus π² mit einem rationalen Koeffizienten besteht.

Dies ist zum Beispiel beim Torus der Fall.

Die Gesamtfigur der Abbildung 4 hat das Volumen ⁹₂π².

(4)

Abb. 4: Torus und Kosinusspindel

3.2 Oberfläche

S_Spindel= 1+sin²

( )

u ^cos

( )

^u ^du

−^π₂

π2

∫

^dv

0

2π

∫

⁼^2π

(

²⁺^{ln 1}

(

⁺ ²

) )

₍₄₎

Leider kein „schönes“ Resultat.

3.3 Meridianfläche

M_Spindel =2 (5)

4 Schraubenlinie 4.1 Auf Spindelfläche

Die Abbildung 5a zeigt eine Schraubenlinie (rot), die auf die Spindelfläche passt (Abb.

5b). Nachweis durch Rechnung.

Die Schraubenlinie hat den Radius ¹₂ und die Ganghöhe π. Sie ist also eine auf 50%

skalierte Kopie der Standard-Schraubenlinie mit Radius 1 und Ganghöhe 2π. Gegen- über der Horizontalebene hat sie die Steigung 1, also den Steigungswinkel 45°.

(5)

Abb. 5: Spirale auf der Spindel

Die schwarze Spindelachse und die blaue Achse der roten Schraubenlinie sind verschie- den. Die schwarze Spindelachse verbindet Anfang und Ende der Schraubenlinie.

Die rote Schraubenlinie passt auf drei weitere Flächen. Nachweise durch Rechnung.

a) b)

(6)

4.2 Auf Zylinder

Abb. 6: Schraubenlinie auf Zylinder

Die Schraubenlinie passt auf einen Zylinder (Abb. 6, blau), welcher dieselbe Achse hat wie die Schraubenlinie. Die schwarze Spindelachse ist eine Mantellinie des Zylinders.

a) b)

(7)

4.3 Auf Schraubenfläche

Abb. 7: Schraubenlinie auf Schraubenfläche

Die Schraubenlinie passt auf eine Schraubenfläche (Abb. 7, grün), welche die schwarze Spindelachse als Achse hat. Dies ist verblüffend. Die Schraubenfläche hat die Ganghö- he 2π.

a) b)

(8)

4.4 Auf zweiter Schraubenfläche

Abb. 8: Triviale Schraubenfläche

Die Schraubenlinie liegt trivialerweise auf der „eigenen“ Schraubenfläche (Abb. 8, ma- genta). Diese Schraubenfläche hat wie die rote Schraubenlinie die Ganghöhe π.

Wegen der konstanten Steigung 1 unserer Schraubenlinie ist sie auf den betrachteten Flächen jeweils eine Böschungslinie (Kurve konstanten Anstieges).

5 Schnittkurve

Die rote Schraubenlinie ist also Schnittkurve beim Schnitt von zwei oder mehreren der obigen Flächen (Abb. 9 bis #).

a) b)

(9)

5.1 Spindel und Zylinder

Abb. 9: Spindel und Zylinder

a) b)

(10)

5.2 Spindel und Schraubenfläche

Abb. 10: Spindel und Schraubenfläche

a) b)

(11)

5.3 Spindel und Schraubenfläche

Abb. 11: Spindel und Schraubenfläche

a) b)

(12)

5.4 Zylinder und Schraubenfläche

Abb. 12: Zylinder und Schraubenfläche

a) b)

(13)

5.5 Zylinder und Schraubenfläche

Abb. 13: Zylinder und Schraubenfläche

a) b)

(14)

5.6 Schraubenfläche und Schraubenfläche

Abb. 14: Zwei Schraubenflächen

Abb. 15: Sicht von oben

a) b)

(15)

Abb. 16: Sicht von allen Seiten

(16)

5.7 Synopsis

Abb. 17: Synopsis

6 Mehrere Schraubenlinien

In der Abbildung 18a ist die Kosinusspindel mit den Parameterlinien gemäß der Para- metrisierung (2) (siehe auch Abb. 2 und 3) eingezeichnet. Unsere Schraubenlinie ist offensichtlich eine Diagonalkurve der Parametrisierung. In der Abbildung 18b sind weitere diagonale Schraubenlinien eingezeichnet.

Die Kosinusspindel kann also auch mit der Schraubenlinie als Meridian erzeugt werden.

(17)

Abb. 18: Netzlinien und Spiralen

Die Abbildung 19a enthält nur noch die Spiralen. In der Abbildung 19b sind zusätzlich die Konterspiralen eingezeichnet.

Abb. 19: Spiralen und Konterspiralen

a) b)

(18)

Die Abbildung 20 zeigt einen eisernen Pfahlabschluss (Arabal, Kashmir). Er erinnert an die Abbildung 19a. Allerdings sind die Spiralen linksgängig, so wie die Konterspiralen der Abbildung 19b.

Abb. 20: Schmiedeeiserne Verzierung

Die Abbildung 21 zeigt die Situation der Abbildung 19 von oben. Die Spiralen erschei- nen als Kreise.

(19)

Abb. 21: Sicht von oben

7 Rhombenfiguren

Die Abbildung 22 zeigt eine Diskretisierung mit Rhomben.

Abb. 22: Rhomben

a) b)