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Academic year: 2022

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(1)

Hans Walser, [20160436]

Approximation der Kreiszahl π 1 Worum geht es?

Das dem Einheitskreis einbeschriebene Sechseck hat den halben Umfang 3.

Hingegen hat erst das dem Einheitskreis einbeschriebene Zwölfeck den Flächeninhalt 3 (Abb. 1).

Abb. 1: Sechseck und Zwölfeck

2 Einbeschriebene Vielecke

Allgemein gilt für das dem Einheitskreis einbeschriebene regelmäßige n-Eck:

u2

( )

n =nsin

( )

πn und fn =ncos

( )

πn sin

( )

πn = n2sin

( )

2πn (1)

Daraus ergibt sich:

f2n =

( )

u2 n (2)

Halber Umfang = 3 Flächeninhalt = 3

(2)

Hans Walser: Approximation der Kreiszahl π 2 / 3

Die Tabelle 1 gibt Werte für Verdoppelungen von 6.

n Flächeninhalt Halber Umfang 6 2.598076212 3

12 3 3.105828541

24 3.105828541 3.132628613 48 3.132628613 3.139350203 96 3.139350203 3.141031953 192 3.141031953 3.141452473 384 3.141452473 3.141557609 768 3.141557609 3.141583892 1536 3.141583892 3.141590465 3072 3.141590465 3.141592108 6144 3.141592108 3.141592518 12288 3.141592518 3.141592620 24576 3.141592620 3.141592648 49152 3.141592648 3.141592652 98304 3.141592652 3.141592653 196608 3.141592653 3.141592653 393216 3.141592653 3.141592653 786432 3.141592653 3.141592653 1572864 3.141592653 3.141592654 3145728 3.141592654 3.141592654 Tab. 1: Einbeschriebene Vielecke

3 Umbeschriebene Vielecke

Für das dem Einheitskreis umbeschriebene regelmäßige n-Eck gilt:

u2

( )

n =ntan

( )

πn und fn =ntan

( )

πn (3)

Hier haben der halbe Umfang und der Flächeninhalt dieselbe Maßzahl. Der Grund ist einfach: der Flächeninhalt ist der halbe Umfang mal der Inkreisradius. In unserem Bei- spiel ist der Inkreisradius 1.

(3)

Hans Walser: Approximation der Kreiszahl π 3 / 3

Die Tabelle 2 gibt die Werte für Verdoppelungen von 6.

n Flächeninhalt Halber Umfang 6 3.464101616 3.464101616 12 3.215390309 3.215390309 24 3.159659942 3.159659942 48 3.146086215 3.146086215 96 3.142714601 3.142714601 192 3.141873051 3.141873051 384 3.141662748 3.141662748 768 3.141610176 3.141610176 1536 3.141597036 3.141597036 3072 3.141593752 3.141593752 6144 3.141592929 3.141592929 12288 3.141592723 3.141592723 24576 3.141592673 3.141592673 49152 3.141592658 3.141592658 98304 3.141592654 3.141592654 196608 3.141592653 3.141592653 393216 3.141592653 3.141592653 786432 3.141592653 3.141592653 1572864 3.141592654 3.141592654 3145728 3.141592654 3.141592654 Tab. 2: Umbeschriebene Vielecke

Ich verstehe dieses für innen und außen unterschiedliche Verhalten nicht.

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