Hans Walser, [20151122]
Herzkurve
Idee und Anregung: R. Sch., C.
1 Worum geht es?
Es werden zwei Methoden vorgestellt, die Herzkurve zu gewinnen.
2 Enveloppe 2.1 Vorgehen
Wir wählen einen beliebigen Winkel φ und definieren die Punktefolge:
Pn =
(
cos 2( )
nφ ,sin 2( )
nφ)
,n∈{
0,1,2, 3,...,N}
(1)Für praktische Zwecke muss man natürlich für n eine Obergrenze N festlegen.
Das Polygon P0,P1,P2,...,PN hüllt die Herzkurve ein.
Die Abbildung 1a zeigt die Situation für φ= 853π und N=100, bei der Abbildung 1b wurde der Winkel gleich belassen, aber N =300 gewählt.
Abb. 1: Herzkurve als Enveloppe
a) b)
2.2 Probleme
So ganz beliebig darf φ nicht gewählt werden.
2.2.1 Zyklen
Für φ =1024π und N=1000 erhalten wir die nicht sehr umwerfende Figur der Abbil- dung 2.
Abb. 2: Wo ist die Herzkurve?
2.2.2 Auslöschung?
Für φ =1 und N =150 erhalten wir die etwas verschwommene Figur der Abbildung 3.
Abb. 3: Verschwommene Figur
Ich vermute, dass Auslöschungseffekte daran schuld sind.
3 Drittelpunkte 3.1 Vorgehen
Auf der Strecke PnPn+1 bezeichnen wir mit Qn den näher bei Pn liegenden Drittel- punkt. Und nun zeichnen wir lediglich diese Drittelpunkte. Die Abbildung 4a zeigt die Situation für φ= 853π und N=100. In der Abbildung 4b wurde N=1000 gewählt.
Abb. 4: Drittelpunkte
Die Punkte Qn liegen allerdings nicht optisch aufeinanderfolgend. Die Abbildung 5a zeigt Das Polygon Q0,Q1,Q2,...,QN für φ =853π und N =100. In der Abbildung 5b wurde N =1000 gewählt.
a) b)
Abb. 5: Polygonzug
3.2 Ausreißer
Die Abbildung 6 zeigt die Punkte für φ=1 und N=100. Wir haben offensichtliche Ausreißer.
Abb. 6: Ausreißer
3.3 Verallgemeinerung
Anstelle von (1) definieren wir die Punktfolge:
Pn =
(
cos( )
bnφ ,sin( )
bnφ)
,n∈{
0,1,2, 3,...,N}
(2)a) b)
Die Basis 2 wird durch die allgemeine Basis b ersetzt.
Auf der Strecke PnPn+1 bezeichnen wir mit Qn nun den näher bei Pn liegenden ersten Teilpunkt bei Unterteilung in b+1 gleiche Teile.
Die Abbildung 7 zeigt die Situation für b=7, φ= 853π und N =1000.
Abb. 7: Sechspass
