>0∀n∈N:∃m(n)≥n mit P(T &gt

SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie

L¨osung zu H1, Blatt 9

Die angegebene Bedingung ist ¨aquivalent zu

(∗) ∃ >0∀n∈N:∃m(n)≥n mit P(T > m(n)|F_n)<1−, P −f.s.

Daraus folgt unmittelbar

P(T > m(n)) = P(T > m(n), T > n) =P(P(T > m(n)|F_n), T > n)≤(1−)P(T > n).

Hier haben wir benutzt bei der zweiten Gleichheit die Definition einer Stoppzeit und bei der letzten Ungleichung, die Voraussetzung. Es folgt nun aus dieser Rechnung, wenn man auf beiden Seiten n→ ∞ nimmt

P(T =∞) = lim

n→∞P(T > m(n))≤(1−) lim

n→∞P(T > n) = (1−)P(T =∞).

Da >0 muss P(T =∞) = 0 sein, ansonsten h¨atten wir ein Widerspruch.

Das gesuchte Beispiel beruht auf H4, Blatt 8. Seien also Xi ∼ ¹₂(δ1+δ−1), i∈N i.i.d.

und S_n =Pn

i=1X_i, n∈ N. Aus H4, Blatt 8 wissen wir, dass T₁ = inf{n∈ N|S_n = 1} hat T₁ < ∞ P-f.s. aber E[T₁] = ∞. Wir zeigen, dass in diesem Beispiel die Bedingung (*) erf¨ullt ist, z.B. f¨ur alle n≥2. Sei n∈N, n≥2 fest undm ∈N, m ≥n(zun¨achst beliebig, wird am Ende gew¨ahlt). Wir haben im Allgemeinen

P(T₁ > m|F_n) =P(S₁ ≤0, . . . , S_m ≤0|F_n)

=1{S₁≤0,...,S_n≤0}P(S_n+1 ≤0, . . . , S_m ≤0|F_n)≤1{S_n≤0}P(S_m ≤0|F_n)

=1{S_n≤0}P(S_m−S_n ≤ −S_n|F_n) = 1{S_n≤0}P(Sm−n ≤ −t)|_t=Sn.

Beim letzten Schritt haben wir die i.i.d.-Struktur der Irrfahrt benutzt. Insgesamt folgt also, da|S_n| ≤n

P(T₁ > m|F_n)≤ sup

t∈{0,1,...,n}

P(Sm−n ≤t) = P(Sm−n ≤n).

W¨ahle nunm(n) =n²+nf¨ur jedesn∈N. Es folgt mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes (E[X1] = 0, E[X₁²] = 1) f¨urn → ∞

P(T₁ > m|F_n)≤P(S_n² ≤n) = P(S_n²

n ≤1)→ N_(0,1)(−∞,1]<1.

Ausserdem es ist klar, dass ∀n ≥ 2 : P(S_n² ≤ n) < 1. Insgesamt folgt, dass man eine gleichm¨assige obere Schranke f¨ur alle P(T₁ > m(n)|F_n), n ≥ 2 finden kann. Also i.A.

impliziert (*) E[T]<∞ NICHT!

L¨osung zu H2, Blatt 9

Lemma (X_n)_n∈N konvergiert in Wahrscheinlichkeit zu X genau dann wenn, f¨ur jede Teilfolge {n(m)m∈N} existiert eine Teil-Teilfolge {n(m_k)}k∈N, sodass (X_n(mk))k∈N konver- giert zuX P-f.s.

Beweis.(genau dann): Sei _k ≤ 0, eine Nullfolge. F¨ur jedes k w¨ahle n(m_k) > n(mk−1) mit

P(|X_n(mk)−X|> _k)≤ 1 2^k.

Mit Borel-Cantelli 1 folgt, dass |X_n(mk)−X| ≤k schliesslich f¨ur k→ ∞ P-f.s.

(wenn): Sei > 0 gegeben und y_n := P(|X_n−X| > ). Voraussetzung heisst insbeson- dere (da P-f.s. Konvergenz die in Wahrscheinlichkeit impliziert), dass f¨ur jede Teilfolge {n(m)m∈N} existiert eine Teil-Teilfolge {n(mk)}k∈N, sodass y_n(mk) → 0, k → ∞. Dann muss aber ganz (y_n)n∈N zu Null konvergieren, denn ansonsten es existiert eine Teilfolge die nicht zu Null geht, und dies widerspricht die Voraussetzung.

Nun zur eigentlichen Aufgabe zur¨uck. (X_n)n≥1 p-fach gleichgradig integrierbar impli- ziert insbesondere, dass (X_n)_n≥1 in L^p beschr¨ankt ist. Denn: sei A >0. Es folgt

sup

n

E[|X_n|^p]≤sup

n

E[|X_n|P1|Xn|>A] + sup

n

E[|X_n|P1|Xn|≤A] o(1) +A^p <∞, A→ ∞.

Hier die o(1), A → ∞ entsteht einfach aus der Definition von p-fach gleichgradig Inte- grierbarkeit.

Daraus und aus Lemma folgt mit der Fatou-Lemma E[|X|^p]≤lim inf

k→∞ E[|X_n(k)|^p]≤sup

n

E[|X_n|^p]<∞.

Also ist X inL^p. Seien nun , A >0 gegeben. Wir haben

E[|X_n−X|^p] =E[|X_n−X|^p1_{|Xn−X|^p_≤}] +E[|X_n−X|^p1_{|Xn−X|^p_>}]

≤+E[|Xn−X|^p1{|Xn−X|^p>}]

≤+c(E[|X_n|^p1{|Xn−X|^p>}] +E[|X|^p1{|Xn−X|^p>}]).

Hier c > 0 geeignet aus der Ungleichung |a−b|^p ≤ c(|a|^p +|b|^p), was wir schon in H3, Blatt 6 benutzt haben. Es gilt aber

E[|X_n|^p1{|Xn−X|^p>}]≤E[|X_n|^p1{|Xn|≥A}] +E[|X_n|^p1{|Xn|<A,|Xn−X|^p>}]

≤sup

n

E[|X_n|^p1_{|Xn|≥A}] +A^pP(|X_n−X|> ^1p).

Also insgesamt

E[|X_n−X|^p]≤+cE[|X|^p1{|Xn−X|^p>}] + sup

n

E[|X_n|^p1_{|Xn|≥A}] +A^pP(|X_n−X|> ^1p) =:C(, A, n).

Aus der angenommenen gleichgrad. Int’barkeit, der Integrierbarkeit von |X|^p und der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt

lim sup

→0

lim sup

A→∞

lim sup

n→∞

C(, A, n) = 0 und daraus die Behauptung.