P n=2 (−1)n √n+(−1)n T 28 Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen (a

J. Wengenroth Wintersemester 2013/14 10.1.2014

Einführung in die Mathematik Blatt 6

Abgabe: Mittwoch, 22. Januar 2014, bis 12 Uhr, Übungskasten 5 Anregungen für die Tutorien in der Woche 13. - 17. Dezember T 26

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenz- wert.

(a) ⁽ⁿ⁺¹⁾_n²⁻ⁿ² (b) ^(n+1)3−n_n ^3−cn2 für c∈C (c) √

n²−n−n (d) n(√

n²−n−n+ 1/2) (e)

n−1 n

n²

T 27

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

(a)

∞

P

n=0

2+(−1)ⁿ

3ⁿ (b)

∞

P

n=0

(−1)ⁿ

(n+3)(n+4) (c)

∞

P

n=0 iⁿ

√n+1 (d)

∞

P

n=2

(−1)ⁿ

√n+(−1)ⁿ

T 28

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen (a)

∞

P

n=1

√n

nzⁿ (b)

∞

P

n=0 eⁿ

n!zⁿ (c)

∞

P

n=1

(n+ 1)zⁿ.

Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts den Wert der Reihe in (c).

T 29

(a) Zeigen Sie, dass die reelle Exponentialfunktion exp|_R : R → R, x 7→

∞

P

n=0 xⁿ

n! streng monoton wachsend ist.

(b) Bestimmen Sie allez∈Cmit |exp(z)|= 1.

T 30

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen in allen Punkten des Definitionsbereichs auf Ste- tigkeit.

(a) f :R+→R+,x7→√

x (b)f :C→R,x7→p

exp(|x|²) + 1 (c) f :C→C,z7→

∞

P

n=0 (−1)ⁿ

(2n)! z²ⁿ (d)f :R→R,x7→ bxc= sup{n∈Z:n≤x}

Hausaufgaben. Abgabe bis Mittwoch 22. Januar 2014 H 26

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz.

(a)

n+1 n

n²

(b) 1 +_n¹2

n

(c) _n¹₃

n

P

k=1

k²

(d) _np+1¹

n

P

k=1

k^p für p∈N. H 27

Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

(a)

∞

P

n=0 nⁿ

n!zⁿ

(b)

∞

P

n=0 2n

n

zⁿ

(c)

∞

P

n=0

n+1 n

n²

zⁿ

(d)

∞

P

n=0

n³(1 + (−1)ⁿ)zⁿ

H 28

(a) Zeigen Sie für eine Folge echt positiver Zahlenx_n folgende Implikation x_n+1

xn

−→c=⇒ √ⁿ

x_n−→c.

(b) Beweisen Sie, dass ⁿ

√ n!

n konvergiert.

H 29

(a) Sei f : R→ R+ eine Funktion, so dass Am = {x ∈R :f(x) > _m¹} für jedes m ∈ N endlich ist. Zeigen Sie, dassf in jedem Punktξ ∈R\ S

m∈N

A_m stetig ist.

(b) Wo ist die Funktionf :R→R,x7→

₁

m , x= _mⁿ gekürzt 0 , x∈R\Q

stetig?

H 30

Seien (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= M ⊆ X und dist(x, M) = inf{d(x, z) : z ∈ M}.

Zeigen Sie, dass die FunktionX→R+,x7→dist(x, M) stetig ist.

Hinweis. Beweisen Sie für ε > 0 und x, y ∈ X, dass |dist(x, M)−d(y, M)| ≤ d(x, y) +ε.

O.b.d.A sei dabei dist(x, M)≥dist(y, M). Wählen Siez∈M mit d(y, z)≤dist(y, M) +ε.