A :=  A A 111010002 A D N A = D + N  i =1 A i A ∈ M ( n × n,K ) P ( t )= ± ( λ − t ) Q n A A :=  50 0 0 50 50 a =100 b =0 a b − 10000030 t − 1 − 110 − 20 − 1110000010302101 − 201000 n →∞ n →∞ n n lim a lim b 1 1 a ,b ∈ R + 1 2 r := r := t 19 4

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II

Blatt3

Aufgabe 1

DerVierzehnpunkt-Marienkäferhat einen Lebenszyklus, derzweiJahre dauert. Zujedem

Zeitpunkt gibt es einjährige und zweijährige Käfer. Mit

a n

^bzw.

b n

^{wird die Anzahl der}

Käfer im Jahr

n

^{bezeihnet, die ein Jahr bzw. zwei Jahre alt sind. Die Käfer vermehren}

sih proportional zu ihrer Anzahl und zwar die einjährigen mit einer Rate

r 1

^{und die}

zweijährigenmit einerRate

r 2

^.DieneuenMarienkäfershlüpfenjeweilsimnähstenJahr.

DenWinter überlebt allerdingsnur einAnteil

t

^dereinjährigenKäfer.

a) StellenSiedieGleihungenfürdiePopulationsgröÿen

a n+1

^und

b n+1

ⁱⁿAbhängigkeit von

r 1 , r 2

^und

t

^{aufund gebenSie diesesSystem auh inMatrixforman.}

b) Wiegroÿmussfür

r 1 := ¹ ₉

^und

r 2 := ⁴ ₃

^derWertvon

t

^{sein,damitdasina)bestimmte}

Gleihungssystemfür beliebigeAnfangsparameter

a 1 , b 1 ∈ R ⁺

^einenGleihgewihts- punkt besitzt,d.h. damit

lim

n→∞ a n

^und

lim

n→∞ b n

existieren?

) Bestimmen Sie für den in Teil b) ermittelten Wert von

t

^{,sowie für die Anfangspo-}

pulationen

a 0 = 100

^und

b 0 = 0

^dieGröÿen

a 50

^und

b 50

^{der ein- bzw.} zweijährigen Tiere im Jahr

50

^.

Hinweis: Siekönnen soähnlih vorgehenwie auf Blatt2,Aufgabe 3.

Aufgabe 2

Sei

A :=

















−2 0 1 0 0 0

−1 −1 1 0 −2 0

−1 0 0 0 0 0 3 0 −1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2 1 0 1















 .

BestimmenSie dieEigenräume unddieHaupträume von

A

^.

Aufgabe 3

a) Sei

A ∈ M (n × n, K)

^{symmetrish mit}

P A (t) = ±

n

Q

i=1

(λ i − t)

^undsei

A = D + N

die Jordan-Chevalley-Zerlegung von

A

^{. Zeigen Sie:}

D

^und

N

^{sind dann ebenfalls}

symmetrish.

b) Zur Bestimmung der Jordan-Chevalley-Zerlegung genügt es im Allgemeinen niht,

A

ⁱⁿ Dreieksform zu bringen und dann

A

^{in Diagonale und Restzu zerlegen. Zum}

Beispiel ist für

A :=





1 1 1 0 1 0 0 0 2





D :=





1 0 0 0 1 0 0 0 2





^und

N :=





0 1 1 0 0 0 0 0 0





A = D + N

^keineJordan-Chevalley-Zerlegung. Warum?

) Bestimmen Sie dieJordan-Chevalley-Zerlegungder Matrix

A

^ausTeilb).

Aufgabe 4

Sei

F : V → V

^{einelineareAbbildung.Sei}

v ∈ V \ {0}

^einEigenvektor zumEigenwert

−1

fürdieAbbildung

G = (F ◦ F ) + F

^.

Zeigen Sie:

v

^{ist ein} Eigenvektor zum Eigenwert

1

^{für die lineare Abbildung}

F ³ = F ◦ F ◦ F

^.

Abgabe: Montag, den 11.05.2009, bis 18:00 Uhr.

Hinweise: Bitte Namen und Übungsgruppe auf das Blatt shreiben. Maximal 2 Namen