Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 14. M¨arz 2019
H¨ohere Mathematik II (MB)
16. ¨Ubung : Potenzreihen
16.1 Ein Gummiball springt auf einer horizontalen Unterlage und verliert dabei von Sprung zu Sprung jeweils 10% an H¨ohe.
Welchen Weg s legt der Ball zur¨uck, ehe er zur Ruhe kommt, wenn er mit einem senkrechten Fall aus einer H¨ohe von h startet ?
16.2 Sind die Zahlenreihen konvergent oder divergent ? (a) 2
3 + 4 9 + 6
27 + 8
81 +. . . (b) X∞
n=1
n2 n!
(c) 1 + 3
2·3 + 32
22 ·5 + 33
23 ·7 +. . . (d) 1 + 1
√3
2 + 1
√3
3 + 1
√3
4 +. . . (e)
X∞
n=1
(−1)n(n+ 1)
2n (f)
X∞
n=2
(−1)n
n(n−1) (g) X∞
n=1
n!
nn
16.3 Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen.
(a) X∞
n=1
2−nn2 ·xn (b) X∞
n=1
1 + 1
n n2
·(x−1)n (c) X∞
n=0
n!·xn (n+ 1)n 16.4 Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihen.
(a) X∞
n=1
(x−2)n
n (b)
X∞
n=0
n!·(x+ 1)n (c) X∞
n=1
xn−1 n·3n−1
16.5 Leiten Sie aus der Taylorreihe f¨ur ex mit x0 = 0 eine Potenzreihe f¨ur sinhx = 12 (ex−e−x) her. Differenzieren Sie diese Reihe gliedweise.
Welche Reihe erhalten Sie ?
16.6 Entwickeln Sie die Funktion f(x) = sinhx·sinx in eine Potenzreihe in x. Nutzen Sie hierzu die Reihen f¨ur sinhx und sinx sowie die Rechengesetze f¨ur Reihen. Geben Sie die Glieder bis zur sechsten Potenz an. Wie groß ist der Konvergenzradius der Reihe ?
Wie lautet der Koeffizient von x8 in der Reihenentwicklung von f ? Ist f(x) gerade oder ungerade ?
16.7 Bestimmen Sie lim
x→0
1−cos x2
x2 , indem Sie die Potenzreihe f¨ur die Kosinus-Funktion nutzen.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
