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1. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) mit a n = ( n n+2 − 3 ) n mit der Regel von de l’Hospital.

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Ubungsblatt 07 - Differenzial- und Integralrechnung - WS 2013/14 ¨ (Heil, Riegelnegg, Ebner, H¨ orl, Sch¨ utky)

1. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) mit a n = ( n n+2 3 ) n mit der Regel von de l’Hospital.

2. Berechnen Sie lim

x 0

1 cos x 1 cos

x .

(Hinweis: Man beachte im Laufe der Rechnung, dass lim

x 0

1

cos x = 1 )

3. Man ermittle das Taylor-Polynom T 3 (x, 1) (Entwicklungspunkt ist also x 0 = 1) von der Funktion f (x) = ln(1 + 3x 2 ) .

4. Die Funktion y = y(x) sei (implizit) durch den Ausdruck y = xe y + y 2 mit y(0) > 0 gegeben. Man differenziere den Ausdruck nach x (Kettenregel!) und bestimme y (0) .

5. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 5-ter Ordnung von f (x) = tan x mit x 0 = 0 . Verwenden Sie dabei f¨ ur y = tan x die Formel y = 1 + y 2 .

6. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom T 1 (x, 0) von f(x) = sin 2x + cos x und sch¨ atzen Sie den Fehler im Bereich | x | < 10 2 ab. (Restgliedabsch¨ atzung)

7. Gegeben sei die Funktion f (x) =

1 + x 2

1 x 2 . Bestimmen Sie den Definitions- bereich, den Bildbereich und das Monotonieverhalten. Berechnen Sie weiters lim

x 1

f (x) und lim

x →− 1

+

f (x) .

8. F¨ ur die Funktion f (x) = ln(1 x + x 2 ) bestimme man den Definitionsbereich sowie

jene Bereiche, auf denen f(x) konvex bzw. konkav ist.

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