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()+ ()= n + 1 n 2 n 2 2

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Academic year: 2022

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(1)

Hans Walser, [20200204]

Be we is ohne W orte 1 Worum geht es?

Im Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten (Abb. 1) ist in der Schrägzeile Nr. 2 (Nummerierung beginnt mit null) die Summe zweier aufeinanderfolgender Einträge eine Quadratzahl:

n+12

( )

+

( )

2n =n2 (1)

Abb. 1: Im Zahlendreieck

Es wird ein Beweis ohne Worte dazu gegeben.

2 Beweis ohne Worte

Abb. 2: Beweis ohne Worte 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 2

3 4 5 6

3 4

5 6 6

10 10 15 20 15

+ =

(2)

Hans Walser: Beweis ohne Worte 2 / 2 3 Formaler Beweis

n+12

( )

+

( )

2n =

( )

n+12 n+n n−1

( )

2 = n n+1

( ( )

2+

( )

n−1

)

=n

( )

22n =n2 (2)

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2 2 a a = 1 b = 0 c = 1 n 0 0 0 a = 2 n + 1 b = 2 n + 2 nc = 2 n + 2 n + 1 n n n + 2 n a = 4 n − a b = 4 n + b c = 4 n + c n n − 1 n n − 1 n n − 1

Es werden allerdings nicht alle pythagoreischen Tripel generiert... Jedes pythagoreische Dreieck ist zwei

() () 2 2 2 2 2 2 2 = = 2 2 u u + + u v = a + 2 b + 2 c , , v b , c + = b u = − v c , b = 2 u v , c = u + v n n + + 1 1 n n n n − 1 n + 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a u a a v v = = u 2 v + v b = 2 a + b + 2 c n n + + 1 1 n n n − 1 n + 1 n n n

Die zu den Tripeln gehörenden Dreiecke nähern sich eben- falls einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an.. Die beiden Kathetenlängen un- terscheiden sich immer nur

2 2 n = 2 5 n n = 2 = 1 + 1 2 2 5 n = 10 = 3 + 1

In this case the proportion of the golden section can be constructed in a square lattice, using circles going through lattice points.?. This gives

2 2 2 2 = m − n , b = 2 mn , c = m + n a

Das am linken Rand unten vorstehende kleine Schnipsel ist ähnlich zu den beiden Drei- ecken und damit ebenfalls ein pythagoreisches Dreieck?. 4

() ()= () 2 2 2 2 2 n n ≥ = 3 3 π π π π b r π = − = 2 a a sin + d − 2 ad cos π − a + d + 2 ad cos n n n n

Das ist statisch sehr ungünstig und dürfte in der Praxis kaum

12 12 a = pa + qa a n = a n − 1 + a n − 2 n n − 1 n − 2

Jedes Folgenglied ist also eine Linearkombination der beiden vorangehenden Folgen- glieder (Walser 2012, S.15).. Der Grenzwert der Folge soll aber von null

n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ! ⋅ n = k ∏

Im Folgenden wird eine Visualisierung mit regelmäßigen n-Ecken versucht die jeweils in n Sektoren unterteilt sind.. Die Elemente werden durch

()= 1 + 3 + 5 + 7 + ! + 2 n − 1 2 k − 1 = n ∑

Es ist der Leserin oder dem Leser überlassen, wie ob sie oder er die Figur der Abbil- dung 5 als Folge von Rhomben mit dem Spitzenwinkel 72° oder als eine Ecke eines 5d-