12 12 a = pa + qa a n = a n − 1 + a n − 2 n n − 1 n − 2

Hans Walser, [20140224]

Konvergente Fibonacci-Folgen 1 Worum geht es?

Die klassische Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ist divergent.

Wir untersuchen Beispiele von konvergenten Folgen mit der Rekursion:

a_n = pa_n−1+qa_n−2

Jedes Folgenglied ist also eine Linearkombination der beiden vorangehenden Folgen- glieder (Walser 2012, S.15).

Der Grenzwert der Folge soll aber von null verschieden sein.

2 Beispiel

2.1 Arithmetisches Mittel Wir arbeiten mit der Rekursion:

a_n = ¹₂a_n−1+¹₂a_n−2

Jedes Folgenglied ist das arithmetische Mittel der beiden vorangehenden Folgenglieder.

Die Tabelle 1 zeigt Beispiele x_n und y_n mit zwei verschiedenen Startwertpaaren.

n xn yn

0 1 0

1 0 1

2 0.5 0.5

3 0.25 0.75 4 0.375 0.625 5 0.3125 0.6875 6 0.34375 0.65625 7 0.32812 0.67188 8 0.33594 0.66406 9 0.33203 0.66797 10 0.33398 0.66602 Tab.1: Zwei Beispiele

2.2 Visualisierungen

Wir fassen x_n und y_n als Koordinaten eines Punktes A_n(x_n,y_n) auf. Wir erhalten eine Punktfolge, in welcher jeder Punkt Mittelpunkt der beiden vorangehenden Folgenpunk- te ist (Abb. 1).

Abb. 1: Punktfolge

Die Punktfolge hat einen Grenzpunkt (Häufungspunkt) G

( )

¹₃,²₃ ^. A₀ A₁

A₂ A₃

A₄ A₅

1 1

x y

1 2 12

1 3 23

Die Abbildung 2 zeigt eine andere Visualisierung.

Abb. 2: Visualisierung 2.3 Beweis

Die Tabelle 1 lässt vermuten:

n→∞lim x_n =¹₃, lim

n→∞y_n =²₃

Für den Beweis für die Folge x_n arbeiten wir mit Brüchen relativ zum vermuteten Grenzwert (Tab. 2).

n x_n

0 1=¹₃+²₃ =¹₃+²₃

( )

−¹₂ ⁰ 1 0=¹₃−¹₃=¹₃+²₃

( )

−¹₂ ¹ 2 ¹₂ =¹₃+¹₆ =¹₃+²₃

( )

−¹₂ ² 3 ¹₄ =¹₃−₁₂¹ =¹₃+²₃

( )

−¹₂ ³ 4 ₈³=¹₃+₂₄¹ =¹₃+²₃

( )

−¹₂ ⁴ 5 ₁₆⁵ = ¹₃−₄₈¹ =¹₃+²₃

( )

−¹₂ ⁵ Tab. 2: Darstellung in Brüchen Es drängt sich die Vermutung für die explizite Formel auf:

x_n =¹₃+²₃

( )

−¹₂ ⁿ

Dies kann induktiv bewiesen werden. Für die Startwerte ist die Formel ok. Einsetzen in die Rekursionsformel ergibt:

12x_n−1+¹₂x_n−2 = ¹₂^⎛_⎝¹₃+²₃

( )

−¹₂ ^n−1⎞_⎠⁺¹2 1

3+²₃

( )

−¹₂ ⁿ⁻²

⎛⎝ ⎞

⎠

= ¹₃+²₃

( )

−¹₂ ^n⎛_⎝¹2

( )

−¹₂ ⁻¹⁺¹2

( )

−¹₂ ^−2⎞_⎠

!####"1####$= ¹₃+²₃

( )

−¹₂ ^{n =xn} Aus der expliziten Formel folgt der vermutete Grenzwert lim

n→∞x_n = ¹₃. Für die Folge y_n gilt entsprechend:

y_n =²₃−²₃

( )

−¹₂ ⁿ

Für die Folge a_n ergibt sich für die Startwerte a₀ und a₁ wegen der Linearität die Folge:

a_n =a₀x_n +a₁y_n =a₀^⎛_⎝¹₃+²₃

( )

−¹₂ ^n⎞_⎠^+a1⎛_⎝²3−²₃

( )

−¹₂ ^n⎞_⎠

= ¹₃a₀+²₃a₁+²₃

( )

−¹₂ ⁿ

⁽

^a0−a1

⁾

Weiter ist dann:

n→∞lim a_n =¹₃a₀+²₃a₁

Das heißt aber, dass wir mit geeigneter Wahl der Startwerte a₀ und a₁ jeden beliebigen Grenzwert erreichen können.

Die triviale Lösung besteht darin, die beiden Startwerte gleich dem anvisierten Grenz- wert zu setzen. Wir erhalten dann eine konstante Folge.

Wir können einen der beiden Startwerte normieren. Beispiel: Für den Grenzwert π ha- ben wir die Bedingung:

13a₀+²₃a₁=^!π

Mit der Normierung a₀= 0 ergibt sich a₁=₂³π. Die Tabelle 3 zeigt die numerischen Werte.

n a_n 0 0.00000 1 4.71239 2 2.35619 3 3.53429 4 2.94524 5 3.23977 6 3.09251 7 3.16614 8 3.12932 9 3.14773 10 3.13852 11 3.14313 12 3.14083 13 3.14198 14 3.14140 15 3.14169 Tab. 3: Grenzwert π 2.4 Matrizen

Die Rekursion

a_n = ¹₂a_n−1+¹₂a_n−2 kann auch in Matrizenform geschrieben werden:

a_n a_n−1

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= ^{12 12} 1 0

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

a_n−1 a_n−2

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Damit wird explizit:

a_n a_n−1

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= ^{12 12} 1 0

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n−1 a₁ a₀

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Die Tabelle 4 gibt einige Potenzen der Matrix A= ^{12 12} 1 0

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥:

n 1 2 3 4 5 6

Aⁿ

12 1 2

1 0

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

43 1 4 12 1 2

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

58 3 8 34 1 4

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

1116 5 16 58 3

8

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

2132 11 32 1611 5

16

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

4364 21 64 2132 11 32

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ Tab. 4: Potenzen der Matrix

Es ist:

n→∞lim Aⁿ =

23 1 3 2 3 1

3

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ Die Grenzmatrix ist singulär.

3 Allgemein

3.1 Formel von Binet

Für eine Folge mit der Rekursion a_n = pa_n−1+qa_n−2 und den Startwerten a₀ und a₁ gilt die explizite Formel (Formel von Binet):

a_n =_γ ¹

1−γ₂

( (

a₁−a₀γ₂

)

^γ1n+

(

a₀γ₁−a₁

)

^γ2n

)

Dabei sind γ_1,2 die Lösungen der quadratischen Gleichung (man beachte die abwei- chende Schreibweise zu der in der Schule üblichen „p-q-Formel“)

γ²−pγ −q=0 also:

γ₁= ^p+

(

^p2+4q

)

¹²

2 und γ₂ = ^p−

(

^p2+4q

)

¹²

2

Die Folge a_n ist also eine Linearkombination von zwei geometrischen Folgen mit den Quotienten γ₁ und γ₂ (Walser 2012, S.15, 16).

3.2 Sonderfall

Im Sonderfall p + q = 1 ist jedes Folgenglied ein gewichtetes Mittel der beiden voran- gehenden Folgenglieder.

In diesem Fall ist q = 1 – p und damit:

p²+4q

( )

^{12 =}

(

^{p2+4 1}

⁽

^−p

⁾ )

^{12 =}

(

^{4−4p+ p2}

)

^{12 =}

( ⁽

^2−p

⁾

²

)

^{12 =2− p}

Daher wird:

γ₁=1 und γ₂ = p−1=−q Damit erhalten wir für die Formel von Binet:

a_n =_1+q¹

( (

a₁+qa₀

)

⁺

(

^a0−a₁

) ( )

^{−q n}

)

Für q <1 erhalten wir den Grenzwert:

n→∞lim a_n = ^a1_1+q^+qa0

Somit haben wir drei freie Parameter, um einen anvisierten Grenzwert zu erhalten.

Wir kontrollieren die Grenzwertformel an unserem schon bekannten Beispiel der Folge x_n. Es ist q=¹₂ , x₀ = 1, x₁ = 0 und damit:

n→∞lim x_n = ^x1_1+q^+qx0 =₁₊¹²₁

2

= ¹₃

3.3 Der Goldene Schnitt

Ein interessantes Beispiel ist folgendes. Wir arbeiten mit dem Goldenen Schnitt (Walser, 2013).

Φ=¹₂

(

1+ 5

)

^≈1.6180339887499 Rekursion:

a_n =

( )

_Φ^{1 2an−1+}Φ¹ a_n−2

Die Tabelle 5 gibt die numerischen Werte für zwei Startwertpaare.

n x_n y_n

0 1 0

1 0 1

2 0.61803 0.38197 3 0.23607 0.76393 4 0.47214 0.52786 5 0.32624 0.67376 6 0.41641 0.58359 7 0.36068 0.63932 8 0.39512 0.60488 9 0.37384 0.62616 10 0.38699 0.61301 Tab. 5: Goldener Schnitt Es ist:

n→∞lim x_n =

( )

_Φ^{1 2} und lim

n→∞y_n = _Φ¹

Die Abbildung 3 illustriert die Lage der Punkte A_n(x_n,y_n).

Abb. 3: Goldener Schnitt

Der Punkt A₂ unterteilt die Strecke A₀A₁im Verhältnis Minor-Mayor, der Grenzpunkt unterteilt dieselbe Strecke im umgekehrten Verhältnis. Wer Lust hat, kann ein Penta- gramm einpassen (Abb. 4).

A₀ A₁

A₂ A₃

A₄ A₅

A₆

1 1

x y

1 1

12

1

2

Abb. 4: Pentagramm

A₀ A₁

A₂ A₃

A₄ A₅

A₆

1 1

x y

1 1

12

12

Die Abbildung 5 zeigt das Analogon zur Abbildung 2.

Abb. 5: Die Goldene Fresse 3.4 Die Matrix

Die Rekursion kann wie folgt beschrieben werden:

a_n a_n−1

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= p q 1 0

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥

a_n−1 a_n−2

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Die Rekursionsmatrix hat die oben beschriebenen Eigenwerte:

γ₁= ^p+

(

^p2+4q

)

¹²

2 und γ₂ = ^p−

(

^p2+4q

)

¹²

2

Im Sonderfall p + q = 1 sind die beiden Zeilensummen 1. Bei nicht negativen Einträgen p und q handelt es sich um eine so genannte Übergangsmatrix (auch stochastische Mat- rix oder Prozessmatrix genannt).

4 Alternierende Rekursion 4.1 Die Rekursion

Wir verwenden zwei Zahlen p und q mit p + q = 1 und verfahren wie folgt.

n gerade: a_n = pa_n−1+qa_n−2 n ungerade: a_n =qa_n−1+pa_n−2

4.2 Beispiel

Für p=¹₃ erhalten wir:

n x_n y_n

0 1 0

1 0 1

2 0.66666667 0.33333333 3 0.44444444 0.55555556 4 0.59259259 0.40740741 5 0.54320988 0.45679012 6 0.57613169 0.42386831 7 0.56515775 0.43484225 8 0.57247371 0.42752629 9 0.57003506 0.42996494 10 0.57166082 0.42833918 11 0.5711189 0.4288811 12 0.57148018 0.42851982 13 0.57135976 0.42864024 14 0.57144004 0.42855996 15 0.57141328 0.42858672 16 0.57143112 0.42856888 17 0.57142517 0.42857483 18 0.57142914 0.42857086 19 0.57142782 0.42857218 20 0.5714287 0.4285713

Tab. 6: Beispiel Wir vermuten:

n→∞lim x_n = ⁴₇ und lim

n→∞y_n = ³₇

Die Abbildung 6 illustriert den Sachverhalt.

Abb. 6: Grenzpunkt

Für beliebige Startwerte a₀ und a₁ erhalten wir den Grenzwert:

n→∞lim a_n = ⁴₇a₀+₇³a₁

4.3 Allgemein

Für ein beliebiges p und damit q = 1 – p erhalten wir für die Startwerte n x_n y_n a_n

0 1 0 a₀ 1 0 1 a₁ die Grenzwerte:

n→∞lim x_n = ^q2

p²+q und lim

n→∞y_n = ^p

p²+q

sowie:

n→∞lim a_n = ^q2

p²+qa₀+ ^p

p²+qa₁ Beweis?

4.4 Nochmals der Goldene Schnitt

Wir wählen wiederum p=

( )

_Φ^{1 2}. Damit erhalten wir die Tabelle 7.

n x_n y_n

0 1 0

1 0 1

2 0.61803399 0.38196601 3 0.38196601 0.61803399 4 0.52786404 0.47213596 5 0.47213595 0.52786405 6 0.50657781 0.49342219 7 0.49342219 0.50657781 8 0.50155281 0.49844719 9 0.49844719 0.50155281 10 0.50036657 0.49963343

Tab. 7: Goldener Schnitt

Interessant ist die jeweilige Vertauschung bei aufeinanderfolgenden Paaren.

Es ist

nlim→∞x_n = lim

n→∞y_n =¹₂

Wir haben einen Drang zur Mitte (Abb. 7).

Abb. 7: Goldener Schnitt und Symmetrie

Die Abbildung 8 zeigt die zugenhörige Flächendarstellung.

Abb. 8: Symmetrischer Goldener Schnitt

Literatur

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz 2012. ISBN 978-3-937219-60-8.

Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig.

Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.