a) Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n ∈ N auf Konvergenz. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Dabei ist

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Aufgabe 1 (4 Punkte):

a) Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n ∈ N auf Konvergenz. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Dabei ist

(i) a _n = √

9n ² + 2n + 1 − 3n (ii) a _n = P n

j=1 j ³ n ⁴ . b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe P ^∞

k=1

(2k − 1) ^{2k − 1} 2 ^2k (2k)! x ^k . Hinweis: F¨ur a ∈ R gilt lim k →∞ (1 + ^a _k ) ^k = e ^a .

L¨ osung:

zu a)(i) Es gilt

a _n = √

9 n ² + 2 n + 1 − 3 n =

p (9n ² + 2n + 1) ² − (3n) ²

√ 9n ² + 2n + 1 + 3n = 2n + 1

√ 9n ² + 2n + 1 + 3n = 2 + _n ¹ q

9 + _n ² + _n ¹

+ 3 .

Mit den Grenzwertgesetzen und lim n →∞ 1

n = 0 und der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgt

n lim →∞ a n = 2 6 = 1

3 . (ii) Es gilt

a _n = P n

j=1 j ³

n ⁴ = n ² (n + 1) ²

4n ⁴ = n ⁴ + 2n ³ + n ²

4n ⁴ = 1 + ² _n + _n ¹

4 .

Deshalb folgt aus lim n →∞ 1

n = 0 und den Grenzwertgesetzen lim n →∞ a _n = ¹ ₄ . zu b) Sei a _k := ^(2k ₂

⁻

¹⁾

(2k)! f¨ur k ∈ N . Dann gilt

¯

¯

¯

¯ a k

a _k+1

¯

¯

¯

¯

= (2k − 1) ^{2k − 1}

2 ^2k (2k)! · 2 ^2k+2 (2k + 2)!

(2k + 1) ^2k+1 = µ 2 k − 1

2k + 1

¶ 2k+1

4(2 k + 2)(2 k + 1) (2k − 1) ² =

µ

1 + − 2 2k + 1

¶ 2k+1

16 + ²⁴ _k + _k ⁸

4 − ⁴ k + _k ¹

. Wegen lim k →∞ (1 + ⁻ _k ² ) ^k = exp( − 2) und lim k →∞ 1

k = 0 folgt daraus lim k →∞

a

a

= 4 exp( − 2) = R.

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Aufgabe 2 (4 Punkte):

Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mit Hilfe der Methode der Rationali- sierung.

i) R dx

sin x , 0 < x < π ii) R dx

1 + cos x , − π < x < π iii) R dx ( x − 1) √

x ² − 1 , x > 1.

L¨ osung:

zu i) R dx sin x =

Z 1

2t 1+t

2

1 + t ² dt = Z dt

t = log | t | = log | tan x 2 | . zu ii) R dx

1 + cos x =

Z 1 1 + ¹ _1+t ^{− t}

2

1 + t ² dt = Z

dt = t = tan x 2 .

zu iii) Mit den Substitutionen x = cosh u, dx = sinh u du und u = ln t, du = dt

t sowie den Gleichungen cosh ² u − sinh ² u = 1 und cosh u = 1

2 (e ^u + e ^{− u} ) gilt f¨ur (iii):

Z dx

(x − 1) √

x ² − 1 =

Z 1

(cosh u − 1) p

cosh ² u − 1 sinh u du =

Z du cosh u − 1 =

Z du

1

2 (e ^u + e ^{− u} ) − 1

= 2

Z du

e ^u + e ^{− u} − 2 = 2

Z 1

t + ¹ _t − 2 dt

t = 2

Z dt

(t − 1) ² = − 2

t − 1 = − 2

e ^u − 1 = − 2

e ^{Arcosh x} − 1 .

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Aufgabe 3 (4 Punkte):

Gegeben sei die Kurve α durch die Parametrisierung α(t) = µ t ³

1 2 t ²

¶

mit t ∈ R . a) Bestimmen Sie die Bogenl¨ange L von α f¨ur das Intervall [0,4].

b) Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt des Kr¨ummungskreises C(α(t 0 )) f¨ur t ₀ = 1.

L¨ osung:

zu a) Es ist α(t) =

µ α ₁ (t) α ₂ (t)

¶

= µ t ³

1 2 t ²

¶

. Also α ⁰ (t) = µ 3t ²

t

¶

und || α ⁰ (t) || = √

9t ⁴ + t ² =

| t | √

9 t ² + 1. Damit gilt f¨ur die Bogenl¨ange L =

Z 4 0

t √

9 t ² + 1 dt = 1 27

Z 4 0

18 t 3 2

√ 9 t ² + 1 dt =

· 1

27 (9 t ² + 1)

¸ 4 0

= 145 √

145 − 1

27 .

zu b) Es ist α ⁰⁰ (t) = µ 6t

1

¶

. Der Normalenvektor an der Stelle t berechnet sich durch

n ( t ) = 1

|| α ⁰ (t) ||

µ − α ⁰ ₂ ( t ) α ⁰ ₁ (t)

¶

= 1

| t | √

9t ² + 1 µ − t

3t ²

¶ ,

an der Stelle t ₀ = 1 also n(1) = ^{√ 1} ₁₀ µ − 1

3

¶

. Die Kr¨ummung im Punkt t erh¨alt man durch

κ(t) = α ₁ ⁰ (t)α ⁰⁰ ₂ (t) − α ⁰ ₂ (t)α ⁰⁰ ₁ (t)

|| α ⁰ (t) || ³ = 3t ² − 6t ²

| t | ³ (9t ² + 1) √

9t ² + 1 und damit ist κ(1) = − ₁₀ ^{√ 3} ₁₀ .

Der Radius des Kr¨ummungskreises ist daher gleich ^{10 √} ₃ ¹⁰ und der Mittelpunkt liegt bei α(1) + n(1)

κ(1) = µ 1

1 2

¶

− 10 √ 10 3

√ 1 10

µ − 1 3

¶

= µ ₁₃

− 3 ¹⁹ ₂

¶

.

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Aufgabe 4 (4 Punkte):

Es sei f (x, y) =





 x ⁴ y

x ⁸ + y ² , falls (x, y) 6 = (0, 0) 0 , falls ( x, y ) = (0 , 0)

. a) Untersuchen Sie die Stetigkeit von f auf R ² .

b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen f x , f y von f in allen Punkten (x, y) ∈ R \ { (0, 0) } .

c) Bestimmen Sie die Richtungsableitungen f _v von f in (0, 0) und berechnen Sie mit deren Hilfe die partiellen Ableitungen f x , f y von f in (0, 0).

L¨ osung:

zu a) Auf R ² \ { (0, 0) } ist f stetig als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt f (t, t ⁴ ) =

t

t

+t

= ¹ ₂ 6 = 0 = f(0, 0) und somit ist f nicht stetig in (0, 0).

zu b) Es ist

f _x (x, y) = 4x ³ y(x ⁸ + y ² ) − x ⁴ y · 8x ⁷

(x ⁸ + y ² ) ² = 4x ³ y ³ − 4x ¹¹ y (x ⁸ + y ² ) ² und f _y (x, y) = x ⁴ (x ⁸ + y ² ) − x ⁴ y · 2y

(x ⁸ + y ² ) ² = x ¹² − x ⁴ y ² (x ⁸ + y ² ) ² . zu c) Sei v = (v 1 , v ₂ ) ∈ R ² mit | (v 1 , v ₂ ) | = 1. Dann ist

f _v (0, 0) = 1

t (f (tv ₁ , tv ₂ ) − f (0, 0)) = 1 t

t ⁵ v ₁ ⁴ v ₂

t ⁸ v ⁸ ₁ + t ² v ² ₂ = t ² v ₁ ⁴ v ₂ t ⁶ v ⁸ ₁ + v ² ₂ .

Ist v ₂ = 0, so ist demnach f v (0, 0) = 0. Im Fall v ₂ 6 = 0 gilt f v (0, 0) = _t

^t

v ^v

+v ^v

→ 0 f¨ur t → 0.

Also ist f _x = f _(1,0) = 0 und f _y = f _(0,1) = 0.