PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen Ubungsblatt 12¨
Abzugeben bis Freitag, den 20. Januar, vor der Vorlesung
Aufgabe 1. (Gleichgewichtspunkt eines Kompartimentmodells) Wir betrachten das einfache Kompartimentmodell
m1(t)
β
α
m2(t) mitα, β >0 undm1(0) +m2(0)>0.
(a) Stellen Sie das zugeordnete DGL-System f¨urm(t) := (m1(t)m2(t))> auf.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix des Systems.
(c) Zeigen Sie, dassm1(t) +m2(t) konstant ist.
(d) Zeigen Sie, dass sich f¨ur t→ ∞ein Gleichgewicht zwischen m1(t) und m2(t) ein- stellt, also der Grenzwert limt→∞ m1(t)
m2(t) existiert. Bestimmen Sie diesen Grenzwert.
(Hinweis: Verwenden Sie Folgerung 9.15.) Aufgabe 2. (Hauptvektoren einer Matrix)
(a) Seiλ >0. Bestimmen Sie zum Eigenwertλf¨urk= 1,2,3,4 jeweils alle Hauptvek- toren k-ter Stufe von
A=
λ 1 0 0
0 λ 1 0
0 0 λ 1
0 0 0 λ
.
(Achtung: F¨ur einen Hauptvektorv k-ter Stufe muss auch (A−λ)k−1v6= 0 gelten!) (b) SeiB∈Mn(R) undvein Hauptvektork-ter Stufe zum EigenwertλvonB. Zeigen Sie, dass die k Vektoren vj = (B −λ)jv f¨ur j = 0, . . . , k−1 linear unabh¨angig sind. (Hinweis: Wenden Sie aufP
jαjvj = 0 geeignete Potenzen vonB−λan.) Aufgabe 3. (Ein inhomogenes DGL-System mit konstanten Koeffizienten)
Bestimmen Sie eine L¨osung des DGL-Systemsy0(t) =Ay(t) +b(t) mit A=
0 1
−1 0
und b(t) =
cos 2t sin 2t
,
indem Sie Satz 10.3 und die Formel eAt=
cost sint
−sint cost
aus Beispiel 9.5 verwenden.
F¨uhren Sie eine Probe durch. (Hinweis: cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ und sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ f¨ur alleα, β ∈R.)
Aufgabe 4. (Einfache L¨osung von Aufgabe 3 mit Hilfe komplexer Zahlen) Wir schreiben y(t) = y1(t) y2(t)>
und betrachten (mit i = √
−1) die komplex- wertige Funktion
z(t) :=y1(t) +iy2(t).
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(a) Zeigen Sie, dass y genau dann das DGL-System y0(t) =Ay(t) +b aus Aufgabe 3 erf¨ullt, wenn
z0(t) =−iz(t) + e2it. (1)
(Dabei ist z0(t) =y01(t) +iy20(t).)
(b) Bestimmen Sie eine (komplexe) L¨osung von (1) mit Hilfe des Ansatzesz(t) =ae2it (vgl. Aufgabe 2 von Blatt 4) und damit eine L¨osung des Systems aus Aufgabe 3.
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