J. M¨uller WiSe 2019/2020 06.11.2019
2. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie
A5: (Maximumprinzip; positive Form) F¨urK⊂Ckompakt sei A(K) :={f ∈C(K) :f|K◦ holomorph}.
Beweisen Sie: SindG⊂Cein beschr¨anktes Gebiet und f ∈A(G) nicht konstant, so existiert einζ∈∂Gmit |f(ζ)|>|f(z)| f¨ur allez∈G.
A6: Es seienf eine ganze Funktion und
M(r, f) := max
Kr(0)|f|
f¨ur r≥0. Zeigen Sie:
a) Istf nicht konstant, so istr7→M(r, f) streng monoton wachsend.
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe A5.
a) (Liouville) Ist d ∈ N so, dass r−dM(r, f) → 0 f¨ur r → ∞, so ist f ein Polynom vom Grad≤d−1.
A7: a) (de l’Hospital) Beweisen Sie: Habenf undghebbare Singularit¨aten oder Pole anamit n(f, a) =n(g, a) =:n∈Z, so gilt
h→0lim
f(a+h)
g(a+h) =cn(f, a) cn(g, a) . b) Berechnen Sie
lim
h→0
1−cosh hsinh .
A8: Es seiG⊂Cein Gebiet. Zeigen Sie:
a) Ist g ∈ H(G) nullstellenfrei und existiert eine Stammfunktion zu g0/g in G, so existiert ein Zweig des Logarithmus vong in G.
Hinweis: Verwenden Sie, dass holomorphe Funktionen mit verschwindender Ablei- tung auf Gebieten konstant sind.
b) Sindf, h∈C(G) mit exp(f) = exp(h) in G, so existiert ein k∈Zmit (f −h)(z) = 2πik f¨ur allez∈G.
Hinweis: Verwenden Sie, dass Bilder vonGunter stetigen reellwertigen Abbildungen Intervalle sind.
