(Hinweis: Verwenden Sie (c) und die geometrische Reihe f¨ur−x2.) Aufgabe 2

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 11

Abgabe bis Do, 15.01., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Es gilt tan⁰(x) = 1 + tan²(x) f¨ur allex∈R\π Z+¹₂ . (b) arctan⁰(x) = _1+x¹ 2 f¨ur alle x∈R.

(c) arctan(x) =P∞

n=0(−1)^{n x}_2n+1²ⁿ⁺¹ f¨ur allex∈(−1,1).

(Hinweis: Verwenden Sie (c) und die geometrische Reihe f¨ur−x².)

Aufgabe 2. Die hyperbolischen Winkelfunktionen sinh,cosh,tanh : R→R sind definiert durch

sinh(x) = e^x−e^−x

2 , cosh(x) = e^x+ e^−x

2 , tanh(x) = sinh(x) cosh(x). (a) Zeigen Sie, dass sinh⁰(x) = cosh(x), cosh⁰(x) = sinh(x), tanh⁰(x) = 1−

tanh²(x) f¨ur alle x∈R.

(b) Zeigen Sie, dass der Tangenshyperbolicus tanh R bijektiv auf (−1,1) ab- bildet und eine Umkehrfunktion arctanh : (−1,1)→R besitzt.

(c) Bestimmen Sie eine Potenzreihenentwicklung von arctanh um x₀ = 0.

Aufgabe 3. (a) Die Exponentialfunktion bildet

H_π :={z ∈C:−π <Im(z)< π}

offenbar bijektiv auf C\(−∞,0] ab. Die Umkehrfunktion ln :C\(−∞,0]→H_π

wird der Hauptzweig des komplexen Logarithmus genannt. Berechnen Sie iⁱ = exp(ilni) sowie (−1)¹⁺ⁱ = exp((1 +i) ln(−1)).

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Reihe ln(1 +x) = P∞

n=0(−1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+ 1) eine Reihenentwicklung der Funktionx7→ln^1+x_1−x umx0 = 0 und zeigen Sie damit

ln 2 =

∞

X

n=0

2 3(2n+ 1)9ⁿ.

(Diese Reihe konvergiert offenbar viel schneller als die Reihe ln 2 =P∞ n=0

(−1)ⁿ n+1 ).

Aufgabe 4. Seif(x) = P∞

n=0a_nxⁿeine Potenzreihe mit Konvergenzradius gr¨oßer oder gleich 1 und A := P∞

n=0a_n konvergent. Dann gilt A = limx%1f(x); eine Beweisskizze dieses Satzes finden Sie im Kurzskript.

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Wend Werner Thomas Timmermann

(a) Sei rn:=P∞

k=n+1an f¨urn ≥ −1. Zeigen Sie, dass dann A−xf(x) = (1−x)

∞

X

n=0

rn−1xⁿ.

(Im Kurzskript wird erkl¨art, wieso die rechte Seite f¨ur x →1 gegen 0 kon- vergiert, woraus dann A= limx%1f(x) folgt.)

(b) Wenden Sie den obigen Satz auf die Reihe f¨ur arctan an und beweisen Sie die Leibniz-Formel

π 4 =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2n+ 1 = 1− 1 3 +1

5 −1

7 +· · ·.

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