(a) Bestimmen Sie die Untersumme der Exponentialfunktion bez¨uglich der ¨aquidistanten Zerlegung des Intervalls [a, b], Zn ={t0

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 12

Abgabe bis Do, 22.01., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. (a) Bestimmen Sie die Untersumme der Exponentialfunktion bez¨uglich der ¨aquidistanten Zerlegung des Intervalls [a, b],

Z_n ={t₀, . . . , t_n} mit t_k=a+kb−a n , und zeigen Sie mit Hilfe der Formel f¨ur geometrische Summen:

S(exp,Z_n) = b−a

n · e^a−e^b

1−q_n mit q_n = e^b−an . (b) Zeigen Sie, dass

n→∞lim b−a

n 1

1−q_n =− 1

exp⁰(0) und lim

n→∞S(exp,Z_n) = e^b−e^a. Aufgabe 2. Sei a > 0 und f: [a, b] → R gegeben durch f(x) = x^c mit c ∈ R,

und sei

Z_n={t₀, . . . , t_n} mit t_k=aq_n^k und q_n = ⁿ rb

a. Zeigen Sie:

(a) Im Fall c >0 gilt S(f,Zn) = q_n−1

q_n^c+1−1 b^c+1−a^c+1

und lim

n→∞S(f,Zn) = b^c+1−a^c+1 c+ 1 . (b) Im Fall c=−1 gilt

S(f,Z_n) =n(q_n−1) und lim

n→∞S(f,Z_n) = ln b a. (Hinweis: qn= e^n1lnba, und was ist lim

t→0

e^tlnba −1

t ?).

Aufgabe 3. (a) Sei f: [a, b]→ R monoton wachsend. Zeigen Sie, dass f¨ur die

¨

aquidistante Zerlegung Z_n={t₀, . . . , t_n} mit t_k=a+k(b−a)/n gilt, dass S(f,Z_n)−S(f,Z_n) = (f(b)−f(a))(b−a)

n ,

und folgern Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.

1

Wend Werner Thomas Timmermann

(b) Zeigen Sie, dass die Funktion g: [−1,1]→R, g(x) =

(0, x= 0, 2xsin_x¹2 − ²_xcos_x¹2, x6= 0,

eine Stammfunktion G besitzt, aber nicht Riemann-integrierbar ist.

(Hinweis: G(0) = 0 und G(x) = x²·h(1/x²) f¨ur x 6= 0 f¨ur eine geeignete Funktion h. Pr¨ufen Sie, dass G⁰(0) =g(0)!)

Aufgabe 4. Zeigen Sie mit partieller Integration und Induktion, dass Z e

1

(lnx)ⁿdx=n!(−1)ⁿ⁺¹+ e

n

X

k=0

(−1)^n−kn!

k! f¨ur alle n∈N. (Hinweis: Setzen Sie u(x) =x.)

2