Zeigen Sie, dass f¨ur alle >0 ein C >0 existiert, so dass f¨ur allex∈R mit |x| ≥C gilt: (1−)|an||x|n≤ |anxn+an−1xn−1

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 3

Abgabe bis Do, 06.11., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie, dass die Folgen (an)n und (bn)n, gegeben durch a_n= qⁿ

n! mit q∈R, b_n = n!

nⁿ, Nullfolgen sind.

(b) Finden Sie eine nicht konvergente Folge (c_n)_n, f¨ur welche die Folge der arith- metischen Mittel

d_n = 1

n(c₁+c₂+. . .+c_n) konvergiert.

Aufgabe 2. Seien a₀, . . . , a_n ∈R mit a_n 6= 0. Zeigen Sie, dass f¨ur alle >0 ein C >0 existiert, so dass f¨ur allex∈R mit |x| ≥C gilt:

(1−)|an||x|ⁿ≤ |anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a1x+a0| ≤(1 +)|an||x|ⁿ. Aufgabe 3. Finden Sie Beispiele reeller Zahlenfolgen (an)n und (bn)n, so dass

lim_nb_n = 0 gilt und a_n bestimmt gegen +∞ divergiert, so dass jeweils folgende Bedingungen erf¨ullt sind:

(a) lim_na_nb_n divergiert bestimmt gegen +∞, (b) limnanbn divergiert bestimmt gegen −∞,

(c) lim_na_nb_n =c f¨ur eine beliebige vorgegebene reelle Zahl c, (d) (a_nb_n)_n ist beschr¨ankt, aber nicht konvergent.

Aufgabe 4. Wir betrachten Polynome

p(x) =p_kx^k+pk−1x^k−1+· · ·+p₁x+p₀, q(x) =q_lx^l+ql−1x^l−1+· · ·+q₁x+q₀

mit k, l ∈ N⁰ und pk, . . . , p0, ql, . . . , q0 ∈ R sowiepk 6= 0 und ql 6= 0. Pr¨ufen Sie, ob die Folge (a_n)_n mit

an = p(n) q(n)

f¨ur n → ∞ konvergiert, divergiert oder bestimmt divergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

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Zusatzaufgabe 5. Sei q >1 eine nat¨urliche Zahl und x ∈R. Man konstruiere eine Intervallschachtelung (I_n),I_n= [a_n, b_n], mit folgenden Eigenschaften:

(a) a_n und b_n sind rationale Zahlen der Form _q^pn, p∈Z. (b) Der Schnitt aller Intervalle I_n ist genau {x}.

Als Konsequenz zeige man, dass jedes nichtleere offene Intervall (y, z)⊂ R eine rationale Zahl enth¨alt (man sagt dazu auch, dass ”Q dicht in R liegt”. Hinweis:

Die Konstruktion vona₀, b₀ kann ohne explizite Anwendung des Archimedischen Axioms nicht gelingen.

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