(c) Die allgemeine Potenzfunktion wird definiert durch xs:= exp(sln(x)) f¨ur alles, x∈R mit x >0

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 11

Abgabe bis Do, 15.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie mit Hilfe der Ungleichung exp(x)> xⁿ⁺¹/(n+ 1)!, dass limx→∞xⁿexp(−x) = 0 f¨ur allen ∈N0.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass limt→0t(lnt)ⁿ= 0 f¨ur allen ∈N0. (c) Die allgemeine Potenzfunktion wird definiert durch

x^s:= exp(sln(x)) f¨ur alles, x∈R mit x >0.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g: (0,∞)→R,x7→x^x.

Aufgabe 2. Zeigen Sie mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Exponential- und Logarithmus-Funktion, dass die Potenzfunktion g_s(x) := x^s = exp(sln(x)) den gewohnten Rechenregeln gen¨ugt, also f¨ur alles, t∈R,n ∈N,x∈(0,∞) gilt:

(a) g⁰_s(x) = sgs−1(x),

(b) g_s+t(x) =g_s(x)g_t(x), insbesondere g_s+1(x) =xg_s(x), (c) g_s(g_t(x)) =g_st(x),

(d) gn(x) =xⁿ und g_1/n(x) = √ⁿ x.

Aufgabe 3. F¨ur s ∈ R und x ∈ (−1,1) sei g_s(1 +x) = (1 +x)^s und f_s(x) :=

P∞ n=0

s n

xⁿ wie in Aufgabe 3 des vorigen Blattes. Zeigen Sie, dass die Funktion x7→fs(x)/gs(1 +x)

konstant ist und folgern Sie, dass P∞ n=0

s n

xⁿ = (1 +x)^s f¨ur alle x∈(−1,1).

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die Funktion f: R→R, x7→

(exp(−1/x), x >0,

0, x≤0,

beliebig oft differenzierbar ist und f¨ur jedes n∈N ein Polynom P_n existiert mit f⁽ⁿ⁾(x) =

(P_n(1/x) exp(−1/x), x >0,

0, x≤0.

Beachten Sie dabei besonders den Punktx= 0.

Zusatzaufgabe 5. Es seiP∞

k=0a_kx^keine Potenzreihe mit KonvergenzradiusR₀. Sei P∞

k=0a_k+1(k + 1)x^k die abgeleitete Reihe, deren Konvergenzradius mit R₁ bezeichnet werde. Man beweise R₀ =R₁. Hinweise:

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(a) R1 ≤R0folgt daraus, dassP∞

k=0akx^kabsolut konvergiert, fallsP∞

k=0ak+1(k+

1)x^k absolut konvergiert.

(b) Der schwierigere Teil istR₀ ≤R₁. Es ist nicht richtig, dass absolute Konver- genz von P∞

k=0a_kx^k die absolute Konvergenz von P∞

k=0a_k+1(k+ 1)x^k nach sich zieht (Gegenbeispiel?).

(c) Ein zielf¨uhrender Ansatz f¨ur R₀ ≤ R₁: ist P∞

k=0a_kx^k absolut konvergent und |y|<|x|, dann ist P∞

k=0ak+1(k+ 1)y^k absolut konvergent.

Man folgere: istR >0 der Konvergenzradius der Potenzreihe, dann ist die Grenz- funktion f(x) := P∞

k=0a_kx^k, f : (−R, R)→Rbeliebig oft stetig differenzierbar.

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