3. Aufgabe. Bestimmen Sie die relative Konditionszahl κ rel (x) der Abbildung f (x 1 , x 2 ) = x 1 /x 2 f¨ ur x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 mit x 2 6 = 0. Zeigen Sie, dass κ rel (x) ≤ 1 f¨ ur alle x gilt.

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, HS 11.02

1. ¨ Ubungsblatt (bis 15.10.2008)

1. Aufgabe. Skizzieren Sie die Einheitskugeln K _k·k (0, 1) im R ² f¨ ur die Normen k · k ∞ , k · k ² und k · k ¹ .

2. Aufgabe. Beweisen Sie k x k ∞ ≤ k x k ² ≤ √ n k x k ∞ f¨ ur alle x ∈ R ⁿ .

3. Aufgabe. Bestimmen Sie die relative Konditionszahl κ ^rel (x) der Abbildung f (x ¹ , x ² ) = x 1 /x 2 f¨ ur x = (x 1 , x 2 ) ∈ R ² mit x 2 6 = 0. Zeigen Sie, dass κ rel (x) ≤ 1 f¨ ur alle x gilt.

4. Aufgabe. Zeigen Sie: sin x = O (x) f¨ ur x gegen 0.

5. Aufgabe. Zeigen Sie: x ² + 3x = O (x) f¨ ur x gegen 0.

6. Aufgabe. Sei g(x ¹ , x ² ) = x ² 1 (1 − x ² ) + (x ³ 2 + x ¹ )(1 − x ² 1 ) mit x = (x ¹ , x ² ) ∈ R ² . Beweisen Sie: g(x 1 , x 2 ) = O ( | x 1 | + | x 2 | ) f¨ ur x = (x 1 , x 2 ) gegen (0, 0).

7. Aufgabe. Sei g(x 1 , x 2 ) = x ² 1 (1 − x 2 ) + (x ³ 2 + x 1 )(1 − x ² 1 ) mit x = (x 1 , x 2 ) ∈ R ² . Zeigen Sie:

g(x ¹ , x ² ) = O | 1 − x ¹ | + | 1 − x ² |

f¨ ur x = (x ¹ , x ² ) gegen (1, 1).

8. Aufgabe. Sei M (b, m, r, R) die Menge der Maschinenzahlen, die in der Vorlesung eingef¨ uhrt worden ist (vgl. Kapitel 2, Folien 33–36), und x ^MIN , x ^MAX die betragsm¨aßig kleinste ( 6 = 0) bzw. gr¨oßte Zahl in M (b, m, r, R). Zeigen Sie, dass

x ^MIN = b ^{r − 1} und x ^MAX = (1 − b ^{− m} )b ^R gelten.

9. Aufgabe. In der Vorlesung ist die Reduktionsabbildung fl(x) eingef¨ uhrt worden (vgl. Kapi- tel 2, Folie 37). Beweisen Sie die Absch¨atzung

fl(x) − x

≤ b ^{− m} 2 b ^e . f¨ ur den absoluten Rundungsfehler.

10. Aufgabe. Berechnen Sie f¨ ur 125.75 die Darstellung im bin¨aren Zahlensystem und bestim- men Sie fl(x) in der Menge M (2, 10, − 64, 63).

11. Aufgabe. Bestimmen Sie die Anzahl der Zahlen in der Menge M (16, 6, − 64, 63).

12. Aufgabe. Seien A, B ∈ R ^{n × n} und bezeichne k · k die Operatornorm bez¨ uglich irgendeiner Vektornorm (vgl. Kapitel 2, Folie 24). Beweisen Sie, dass k AB k ≤ k A kk B k erf¨ ullt ist.

13. Aufgabe. Die sogenannte Frobenius-Norm einer Matrix A ∈ R ^{n × n} ist durch k A k ^F =

n

X

i,j=1

| a ^ij | ^{2 1/2}

definiert. Zeigen Sie, dass k Ax k ² ≤ k A k ^F k x k ² gilt.

14. Aufgabe. Mit k x k ∞ = max 1 ≤ i ≤ m | x ⁱ | bezeichnen wir die Maximumnorm im R ⁿ . Beweisen Sie, dass die durch

k A k ∞ = max

1 ≤ i ≤ n n

X

j=1

| a ij | f¨ ur A ∈ R ^{n × n}

definierte Zeilensummennorm (vgl. Kapitel 2, Folie 25) die zur Maximumnorm zugeordnete Grenzennorm ist, d.h., es gilt

k A k _∞ = max

k Ax k _∞

k x k _∞ = 1 .

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, HS 11.02

3. ¨ Ubungsblatt (bis 12.11.2008)

15. Aufgabe. Schreiben Sie einen Matlab -Code, der die Gauß-Elimination ohne Pivotstra- tegie f¨ ur eine gegebene Matrix A ∈ R ^{n × n} durchf¨ uhrt. Benutzen Sie dabei nicht die in Matlab vordefinierte Funktion lu . Verwenden Sie m¨oglichst wenig for -Schleifen.

16. Aufgabe. Geben Sie einen Algorithmus an, der die LR-Zerlegung einer tridiagonalen Matrix A ∈ R ^{n × n} ohne Pivotsuche durchf¨ uhrt.

17. Aufgabe. Sei A ∈ R ^{n × n} eine tridiagonale Matrix. Wie vereinfachen sich die R¨ uckw¨arts- und Vorw¨artssubstitution in dem Fall, wenn die LR-Zerlegung ohne Pivotsuche durchgef¨ uhrt worden ist. Von welcher Gr¨oßenordnung sind die Anzahl der Multiplikationen und Divisionen?

18. Aufgabe. Das Gleichungssystem









10 ^{− 5} 10 ^{− 5} 1 10 ^{− 5} − 10 ^{− 5} 1

1 1 2















 x 1

x ² x 3









=









2 · 10 ^{− 5}

− 2 · 10 ^{− 5} 1









wird in einer Arithmetik mit drei dezimalen Ziffern gel¨ost. Wie lautet das Resultat a) exakt?

b) mit Spaltenpivotsuche?

c) mit totaler Pivotsuche?

Kommentieren Sie Ihr Ergebnis.

19. Aufgabe. Berechnen Sie die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche f¨ ur die folgende Matrix, d.h., geben Sie eine linke untere Dreiecksmatrix L (mit Diagonalelementen l ii = 1), eine rechte obere Dreiecksmatrix R sowie eine Permutationsmatrix P an, so dass gilt P A = LR gilt mit

A =















1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2















20. Aufgabe. Berechnen Sie die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche f¨ ur die folgende Matrix,

d.h., geben Sie eine linke untere Dreiecksmatrix L (mit Diagonalelementen l ii = 1), eine rechte

obere Dreiecksmatrix R sowie eine Permutationsmatrix P an, so dass gilt P B = LR gilt mit

A =



















− 1 2 − 1 . .. ... ...

− 1 2 − 1

0 − 1 2



















∈ R ^{n × n} .

Weisen Sie nach, dass A positiv definit ist.

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, HS 11.02

4. ¨ Ubungsblatt (bis 26.11.2008)

22. Aufgabe. Sei

A = 1.6384 0.8065 0.8321 0.4096

!

, b = 0.8319 0.4225

! .

Best¨atigen Sie, dass (1, − 1) ^T die exakte L¨osung von Ax = b ist. Bestimmen Sie f¨ ur r(¯ x) = A x ¯ − b ein ¯ x, so dass exakt r = (10 ^{− 8} , 10 ^{− 8} ) ^T gilt. Berechnen Sie κ ∞ (A). Wie klein sollte der relative Fehler in A sein, damit die L¨osung bei exaktem b mit Sicherheit einen relativen Fehler kleiner als 10 ^{− 8} besitzt.

Hinweis: Nutzen Sie die Absch¨atzung k ∆x k ∞

k x + ∆x k ∞ ≤ κ _∞ (A) k ∆A k ∞

k A k ∞

,

wobei Ax = b und (A + ∆A)(x + ∆x) = b gelten.

23. Aufgabe. Sei A ∈ R ^{n × n} regul¨ar und symmetrisch. Zeigen Sie:

κ 2 (A) = λ max

λ ^min , wobei

λ ^max = max {| λ | : λ ist Eigenwert von A } und

λ min = min {| λ | : λ ist Eigenwert von A } gelten.

24. Aufgabe. F¨ ur nichtsymmetrische Matrizen ist | λ max /λ min | ein schlechtes Konditionsmaß.

Betrachten Sie dazu

A = 1 − 1

1 − 1.00001

!

und B = 1 − 1

− 1 1.00001

!

und zeigen Sie: κ ² (A) = κ ² (B), aber

λ max (A)

λ min (A) ≪ λ max (B) λ min (B) .

25. Aufgabe. Seien T ∈ R ^{n × n} und k · k die einer Vektornorm zugeordnete Grenzennorm.

Zeigen Sie: Gilt P ∞

i=0 k T ⁱ k < ∞ , dann ist I − T bijektiv.

h

approximieren und u ^′ (x) wie folgt diskretisiert wird:

u ^′ (x) ≈



 



 



u(x + h) − u(x)

h falls b(x) < 0, u(x) − u(x − h)

h falls b(x) ≥ 0.

(2)

Welches lineare Gleichungssystem erhalten Sie? Wann ist die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems zeilendiagonaldominant?

Hinweis: Eine Matrix A ∈ R ^{n × n} heißt zeilendiagonaldominant, wenn

| a ⁱⁱ | ≥

n

X

j=1,j 6 =i

| a ^ij | f¨ ur alle i = 1, . . . , n erf¨ ullt ist.

27. Aufgabe. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte der in der 21. Aufgabe gegebenen Matrix A durch

λ k = 2 − 2 cos kπ

n + 1 , k = 1, . . . , n, und die zugeh¨origen Eigenvektoren durch

v k =

sin kπ

n + 1 , sin 2kπ

n + 1 , . . . , sin nkπ n + 1

^T

∈ R ⁿ

gegeben sind. Mit anderen Worten: Zeigen Sie Av k = λ k v k f¨ ur k = 1, . . . , n.

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, HS 11.02

5. ¨ Ubungsblatt (bis 10.12.2008)

29. Aufgabe. Ein Polynom zweiten Grades soll nach der Methode der kleinsten Quadrate an die folgende Meßreihe angepaßt werden:

x 15 16 17 18 19

f(x) 26.8 10.3 2.9 5.9 19.1

Bestimmen Sie das Polynom als eine Entwicklung um den Mittelpunkt, d.h.

p ² (x) = c ⁰ + c ¹ (x − a) + c ² (x − a) ² mit a = 17.

30. Aufgabe. Nach Einstein h¨angt die kritische Spannung v 0 f¨ ur den photoelektrischen Effekt von der Frequenz f ab:

ev ⁰ = ~ f − φ, wobei

e = Elementarladung,

~ = Plancksches Wirkungsquantum, φ = Materialkonstante.

Die folgende Tabelle gibt entsprechende Messungen:

f · 10 ^{− 13} (Hz) 56 70 79 83 102 120 v ⁰ (Volt) 0.05 1.00 1.40 1.74 2.43 3.00

Eine lineare Beziehung p ¹ zwischen v ⁰ und f soll diesen Daten so angepaßt werden, dass die Summe der Fehlerquadrate minimal wird. Geben Sie das Polynom ersten Grades p 1 (t) an, so dass v 0 ≈ p 1 (f ).

31. Aufgabe. Eine Matrix A ∈ R ^{n × n} heißt strikt zeilendiagonaldominant, wenn

| a ⁱⁱ | >

n

X

j=1,j 6 =i

| a ^ij | f¨ ur alle i = 1, . . . , n

erf¨ ullt ist. Analog wird A strikt spaltendiagonaldominant genannt, wenn

| a ii | >

n

X

i=1,i 6 =j

| a ij | f¨ ur alle j = 1, . . . , n

34. Aufgabe. Wir betrachten die positiv definite Matrix

A =





















2 − 1

− 1 2 − 1 . .. ... ...

− 1 2 − 1

− 1 2





















∈ R ^{n × n} .

Beweisen Sie, dass

κ ² (A) = O(n ² ) gilt.

Hinweis: F¨ ur kleines x l¨aßt sich der Kosinus durch die Taylorentwicklung cos x = 1 − x ²

2 + O(x ⁴ ) (x → 0) approximieren.

35. Aufgabe. Gegeben sei die Randwertaufgabe u ^′′ (x) = − 1

2 λe ^u(x) , x ∈ (0, 1), u(0) = u(1) = 0

mit λ ≥ 0. Diskretisierung f¨ uhrt auf folgendes nichtlineares Gleichungssystem:

u ⁱ⁺¹ − 2u ⁱ + u ⁱ ₋ ¹

h ² = − 1

2 λe ^u

, u 0 = u N +1 = 0

mit h = 1(N + 1), N ∈ N , x i = ih, u i = u(x i ), i = 0, . . . , N + 1. Schreiben Sie das Gleichungs- system als Nullstellenproblem

F (u) = 0

und geben Sie die Funktionalmatrix DF (u) an. Welche MATLAB-Funktion ist zur Zerlegung

von DF (u) am besten geeignet?

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, HS 11.02

6. ¨ Ubungsblatt (bis 14.01.2009)

36. Aufgabe. Die Gleichung x + ln x = 0, deren Wurzel a ≈ 0.5 ist, soll iterativ gel¨ost werden.

W¨ahlen Sie unter folgenden Iterationsformeln:

a) x n+1 = − ln x n , b) x n+1 = e ^{− x}

, c) x n+1 = x ⁿ + e ^{− x}

2 .

• Welche Formel oder welche Formeln k¨onnen benutzt werden?

• Welche sollte benutzt werden?

• Geben Sie eine noch bessere Formel an!

37. Aufgabe. Wir wollen uns nun mit der a-priori Absch¨atzung des Banachschen Fixpunkt- satzes besch¨aftigen. Wieviele Iterationsschritte sind notwendig, wenn in der 36. Aufgabe mit der dritten Iterationsvorschrift und dem Startwert x 0 = 1 gerechnet wird, um den Fixpunkt mit einer Genauigkeit von ǫ ≤ 10 ^{− 8} zu berechnen?

38. Aufgabe. Wir wollen uns nun mit der a-posteriori Absch¨atzung des Banachschen Fix- punktsatzes besch¨aftigen. Geben Sie f¨ ur dasselbe Verfahren wie in der 37. Aufgabe ein Abbruch- kriterium an: Wie weit d¨ urfen zwei nachfolgende Iterierte x ^k , x ^{k − 1} h¨ochstens auseinanderliegen, damit x ^k den Fixpunkt mit der Genauigkeit ǫ ≤ 10 ^{− 8} approximiert?

39. Aufgabe. Eine Wurzel der Gleichung x ³ − 5x ² + 4x − 3 = 0 soll in der N¨ahe von x = 4 iterativ berechnet werden. W¨ahlen Sie k in der Iterationsformel

x n+1 = 3 + (k − 4)x ⁿ + 5x ² n − x ³ n

k .

so, dass eine schnelle Konvergenz erreicht wird, und berechnen Sie die Wurzel auf 4 korrekte Dezimalen.

40. Aufgabe. Das Newtonverfahren kann auch zur L¨osung des Eigenwertproblems Ax = λx, x 6 = 0,

mit A ∈ R ^{n × n} verwendet werden. Dabei sollen gleichzeitig ein Eigenwert und ein zugeh¨origer Eigenvektor mit k x k ^{2 2} = x ^T x = 1 bestimmt werden. Wie lautet die Iterationsvorschrift?

41. Aufgabe. Seien p ∈ N , Φ ∈ C ^p (I ), I ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall und x ^∗ ∈ int I ein Fixpunkt von Φ. Zeigen Sie: Ist

| Φ ^′ (x ^∗ ) | < 1 f¨ ur p = 1

ϕ(x) = x − f (x)/f ^′ (x) falls x 6 = x ^∗ x ^∗ falls x = x ^∗

gesetzt, so ist ϕ in x ^∗ differenzierbar und das Newtonverfahren konvergiert lokal zumindest linear. Geben Sie eine Absch¨atzung f¨ ur ϕ ^′ an.

Hinweis: Wenn f in x ^∗ eine Nullstelle der Ordnung k hat, dann existiert eine Funktion g : D → R mit f (x) = (x − x ^∗ ) ^k g(x) und g ⁽ⁱ⁾ (x ^∗ ) 6 = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , k.

Zusatzufgabe. Wir setzen die 42. Aufgabe fort. Das folgende modifizierte Verfahren hat lokal mindestens die Konvergenzordnung p = 2:

x ⁿ⁺¹ =

( x ⁿ − kf(x ⁿ )/f ^′ (x ⁿ ) falls x ⁿ 6 = x ^∗ ,

x ^∗ falls x ⁿ = x ^∗ .

Hinweis: Benutzen Sie die 41. und die 42. Aufgabe.