Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Pr¨asenzaufgaben zur Analysis I Blatt XI vom 13.01.2010
Aufgabe XI.1
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen durch Verwendung des Mittelwertsatzes:
a) F¨ur allex, y∈R,x6=y gilt
|sin(x)−sin(y)| ≤ |x−y|.
b) F¨ur alle 0< b < agilt
a−b
a <ln(a/b)< a−b b .
Aufgabe XI.2
Bestimmen Sie unter Verwendung der Regeln von l’Hospital die folgenden Grenzwerte:
a) lim
x→0
1
sin(x) − 1 x
b) lim
x→∞
ln(x)
xα ,α >0 c) lim
x→0
cos(x)−1 tan(x)
Aufgabe XI.3
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale und globale Extrema:
a) f :R+\ {0} →R, f(x) = ln(x) x b) f :R→R, f(x) =x2e−12x
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