x→∞lim x2 x→∞lim x = lim∗ x→∞ x2 x = lim x→∞x

Differenzialrechnung (Kapitel 8) L¨osungen m¨undliche Aufgaben

Aufgabe 8.1

∞+∞=∞

Aufgabe 8.2

∞

∞ = . . . ist nicht definiert

Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:

∞

∞ =

x→∞lim x²

x→∞lim x

= lim∗ x→∞

x² x = lim

x→∞x=∞

∞

∞ =

x→∞lim x

x→∞lim x²

= lim∗ x→∞

x x² = lim

x→∞

1 x =0 (∗: wegen der Stetigkeit vonx²undx)

Aufgabe 8.3

(−∞)³ = (−∞)·(−∞)

| {z }

+∞

·(−∞) =−∞

Aufgabe 8.4

∞ − ∞ = . . . ist nicht definiert

Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:

∞ − ∞= lim

x→∞2x− lim

x→∞x= lim^∗

x→∞(2x−x) = lim

x→∞x=∞

∞ − ∞= lim

x→∞x− lim

x→∞2x= lim^∗

x→∞(x−2x) = lim

x→∞(−x) =−∞

(∗: wegen der Stetigkeit vonxund 2x)

Aufgabe 8.5

∞ −3 =∞ Aufgabe 8.6 7· ∞=∞

1

Aufgabe 8.7

0· ∞ = . . . ist nicht definiert

Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:

0· ∞= lim

x→∞

1 x· lim

x→∞x²= lim^∗

x→∞

1

x·x²

= lim

x→∞x=∞ 0· ∞= lim

x→∞

1 x²· lim

x→∞x= lim^∗

x→∞

1

x² ·x

= lim

x→∞

1 x =0 (∗: wegen der Stetigkeit von 1/x²undx)

Aufgabe 8.8

−¹₂∞² =−∞

Aufgabe 8.9

x→∞lim 7−5x²+ 2x³−3x

= lim

x→∞2x³ =∞

Bei Grenzwerten von Polynomen muss nur das Monom mit dem gr¨ossten Exponenten ber¨ucksichtigt werden. Begr¨undung: F¨ur grosse|x|gilt:

7−5x²+ 2x³−3x

=x³

7

x³ −5

x+ 2− 3 x²

≈x³(0−0 + 2−0) = 2x³

Aufgabe 8.10

x→−∞lim −x⁴+ 2x+ 9

= lim

x→−∞ −x⁴

=−∞

Aufgabe 8.11

x→∞lim

x²−3x

2x²+ 1 = lim

x→∞

x²

2x² = lim

x→∞

1 2 = 1

2

Grad des Z¨ahlerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms Aufgabe 8.12

x→−∞lim

x³+ 2x−1

x⁴+x²−3 = lim

x→−∞

x³

x⁴ = lim

x→−∞

1 x = 0

Grad des Z¨ahlerpolynoms<Grad des Nennerpolynoms Aufgabe 8.13

x³−x+ 2x−1

x²+ 1 =x+. . . hat den Grad 3−2 = 1

2

Aufgabe 8.14 4x⁵+ 3x−2

x²−4x+ 7 = 4x³+. . . hat den Grad 5−2 = 3 Aufgabe 8.15

x→∞lim

x³+x²+x+ 1

e^x = lim

x→∞

x³ e^x = 0

Die Exponentialfunktion im Nenner strebt schneller gegen ∞ als die Potenzfunktionen.

Aufgabe 8.16

x→∞lim 2^x

1−x² = lim

x→∞

2^x

−x² =− lim

x→∞

2^x

x² =−∞

Die Exponentialfunktion im Z¨ahler strebtasymptotisch schneller gegen∞als die Potenz- funktion im Nenner.

Aufgabe 8.17

x→∞lim lnx

x³ = 0

Begr¨undung: die Potenzfunktion im Nenner strebt schneller gegen ∞ als die Logarith- musfunktion im Z¨ahler gegen −∞.

Aufgabe 8.18

x→0lim⁺log₁₀x=−∞

zur Erinnerung:

Aufgabe 8.19 lim

x→0⁺

x⁴ log₂x = 0

Die Potenzfunktion strebt schneller gegen Null als als die Logarithmusfunktion gegen−∞.

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