(a) Sei limn→∞an = 0 und |bn

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 4

Abgabe bis Do, 13.11., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Sei a∈R positiv und a_n:=√

n+a−√

n, b_n :=

q n+√

n−√

n, c_n :=p

n+n/a−√ n

f¨ur alle n∈N. Zeigen Sie:

n→∞lim a_n = 0, lim

n→∞b_n = 1

2, lim

n→∞c_n=∞.

(Hinweis: Erweitere jeweils mit √ x+√

y f¨ur geeignetex und y.) Aufgabe 2. Seien (an)n, (bn)n, (cn)n Folgen reeller Zahlen.

(a) Sei limn→∞a_n = 0 und |b_n| ≤ C f¨ur ein C ≥ 0 und alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann limn→∞a_nb_n= 0.

(b) Zeigen Sie: limn→∞a_n= 0 genau dann, wenn limn→∞|a_n|= 0.

(c) Sei limn→∞a_n = limn→∞c_n und a_n ≤ b_n ≤ c_n f¨ur alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann lim_n→∞b_n = lim_n→∞a_n. (Diese Aussage nennt man das Sandwich-Lemma).

Aufgabe 3. Es sei (an)n eine Folge reeller Zahlen und a ∈ R. Es sei (n)n eine Nullfolge mit _n > 0. Ferner sei (c_n)_n eine Folge, welche bestimmt gegen +∞

divergiert. Man nehme an: f¨ur jedes k ∈ N existiere ein m ∈ N so dass f¨ur alle n∈N mit n ≥cm gilt: |a−an| ≤k. Zeigen Sie, dass an gegena konvergiert.

Aufgabe 4. (a) SeiK ein K¨orper. Zeigen Sie, dass dann x^k−y^k = (x−y)

k−1

X

l=0

x^ly^k−1−l f¨ur allex, y ∈K, k ∈N.

(b) Sei (x_n)_neine konvergente Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit Grenzwert y. Zeigen Sie, dass dann einn₀ ∈N existiert mit

k−1

X

l=0

x^l_ny^k−1−l ≥ky 2

k−1

f¨ur allen ≥n₀ und alle k ∈N.

(c) Sei (a_n)_n eine konvergente Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit Grenzw- ert a. Zeigen Sie, dass dann f¨ur jedes k ∈ N die Folge (√^k

a_n)_n gegen √^k a konvergiert.

(Hinweis: unterscheiden Sie die F¨alle a = 0 und a > 0. Im ersten Fall argumentiert man direkt; im zweiten Fall benutze man (a) und (b).)

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Zusatzaufgabe 5. (a) Seia∈R positiv. Zeigen Sie: limn→∞ ⁿ

√a = 1.

(b) Zeigen Sie: limn→∞ ⁿ

√n = 1.

(Hinweise: f¨ur beide Aussagen ist die Umformungx= (1 + (√ⁿ

x−1))ⁿ hilfreich.

F¨ur (a) nehme man zun¨achst a ≥ 1 an und benutze die Bernoulli-Ungleichung.

Der Fall a <1 folgt hieraus. F¨ur (b): binomischer Lehrsatz.)

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