Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz Dr. Ralf Hielscher Fakult¨ at f¨ ur Mathematik
PD Dr. Thomas Kalmes WS 17/18
Ubungen zur Vorlesung Analysis 1 ¨
http://www.tu-chemnitz.de/∼peju/
Ubungsblatt 7 - Folgen ¨
Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Grenzwert a ∈
Rder folgenden Zahlenfolgen, indem Sie zu jedem ε > 0 ein N (ε) ∈
Nangeben, so dass |x
n− a| < ε f¨ ur alle n > N (ε) gilt.
a) x
n= 1
√ n , b) x
n= 1 n
2
1 − 1
n
, c) x
n= sin n 2 +
3√ n
5.
Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Zahlenfolgen (x
n)
∞n=1: a) x
n= n
2− n + 2
3n
2+ 2n + 4 , b) x
n= n
√
n
2+ 2 ,
c) x
n= (n + 1)
q− n
q, (0 < q < 1), d) x
n= √
n √
n + 1 − √ n
, e) x
n= √
nn + 1.
Aufgabe 3: Zeigen Sie:
a) Ist 0 ≤ a < b und k ∈
N, so gilt 0 < √
kb − √
ka ≤ √
kb − a.
b) Gilt f¨ ur eine Zahlenfolge (a
n)
n∈N, a
n≥ 0 und lim
n→∞
a
n= a, so ist lim
n→∞
√
ka
n= √
ka, k ∈
N.
c) Gilt f¨ ur eine Zahlenfolge (a
n)
n∈N, a
n≥ 0 und lim
n→∞
a
n= a, so ist lim
n→∞
a
qn= a
q, q ∈
Q. Aufgabe 4: F¨ ur welche z ∈
Cexistieren die Grenzwerte:
a) lim
n→∞
z
n, b) lim
n→∞
nz
n, c) lim
n→∞
n!z
n, d) lim
n→∞
n
−1z
n?
1
Aufgabe 5: Betrachten Sie zu a ∈
R, a > 0 und beliebigen Startwert x
0> 0, die rekursive Zahlenfolge
x
n+1= 1 2
x
n+ a x
n
.
a) Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge f¨ ur n > 2 monoton fallend und beschr¨ ankt ist.
b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge.
Aufgabe 6: Berechnen Sie lim inf
n→∞
a
nund lim sup
n→∞
a
nf¨ ur die Zahlenfolgen
a) a
n=
(−1)nn+
1+(−1)2 n, b) a
n= n
(−1)n, c) a
n= 1 +
n+1ncos
2πn4.
Aufgabe 7: Es seien (x
n)
n∈Nund (y
n)
n∈Nbeschr¨ ankte Folgen reeller Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) lim x
n+ lim y
n≤ lim (x
n+ y
n) ≤ lim x
n+ lim y
n,
b) lim x
n· lim y
n≤ lim (x
ny
n) ≤ lim x
n· lim y
n, falls ∀ n ∈
N: x
n≥ 0 , y
n≥ 0.
Aufgabe 8: Es sei (a
n)
n∈Neine reelle Zahlenfolge mit |a
n+1− a
n| <
21n. Zeigen Sie (a
n)
n∈Nist konvergent.
Aufgabe 9: Zeigen Sie: Jede Folge reeller Zahlen besitzt besitzt eine monotone Teilfolge.
2
Hausaufgaben Abgabe Mo, 22.01.2018
Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Grenzwert a ∈
Rder folgenden Zahlenfolgen, indem Sie zu 3 Punkte jedem ε > 0 ein N (ε) ∈
Nangeben, so dass |x
n− a| < ε f¨ ur alle n > N (ε) gilt.
a) x
n= n
3+ n
2+ 1
n
4− 3n
3+ 2n
2+ 1 , b) x
n=
1 + 1 n
4
.
Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Zahlenfolgen 4 Punkte a) x
n= √
n4
n+ 3
n+ 2
n, b) x
n=
3n2+√ n3+2 n2−n+1
,
c) x
n=
pn + √
n −
pn − √
n, d) z
n= (
√ 2
4
(1 + i))
n.
Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Grenzwert der rekursiv definierten Folge 2 Punkte x
n= x
n−2+ x
n−12 , n ∈
Nmit den Startwerten x
0= 2 und x
1= 1.
Aufgabe 4: Seien (a
n)
n∈N, (b
n)
n∈Nzwei positive Zahlenfolgen, d.h., a
n> 0 und b
n> 0 f¨ ur 2 Punkte alle n ∈
N. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Implikationen
a) lim
n→∞
a
n− b
n= 0 = ⇒ lim
n→∞
a
nb
n= 1, b) lim
n→∞
a
nb
n= 1 = ⇒ lim
n→∞
a
n− b
n= 0.
Aufgabe 5: Zeigen Sie, dass lim
n→∞
x
n= 0 genau dann gilt, wenn lim
n→∞
|x
n| = 0. 2 Punkte Aufgabe 6: Berechnen Sie lim inf
n→∞
a
nund lim sup
n→∞
a
nf¨ ur die Zahlenfolgen 4 Punkte a) a
n= n
21 + n
2cos 2nπ 3 , b) a
n=
n
X
k=0
(−1)
k,
c) a
n= (−1)
n1 + (−1)
nn
2n
+ cos(nπ),
d) a
n= Im
√2 2
+
√ 2 2
i
n
