Aufgabe 5: (4 Punkte) Zeigen Sie, dass jede Matrix A ∈ Cn×n, n ∈ N eine Schur-Zerlegung besitzt, d

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

5. NOVEMBER2020

4 5 6 7 Σ

NAME: MAT-NR.:

Numerik II – 2. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 4: (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass die aus dem 5-Punkte Stern resultierende Matrix A=Tm×m in der Form Tm×m =I⊗T_m+T_m⊗I

geschrieben werden kann. Dabei ist I ∈R^m×m die Identit¨atsmatrix und

T_m = 1 h²















−2 1

1 −2 1

. .. ... ...

1 −2 1

1 −2















∈R^m×m

die Matrix aus der Diskretisierung des eindimensionalen Poisson-Problems.

Leiten Sie aus dieser Form und aus Lemma 1.6 die Eigenwerte und Eigenvektoren von A her.

Aufgabe 5: (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass jede Matrix A ∈ C^n×n, n ∈ N eine Schur-Zerlegung besitzt, d. h. es existiert eine unit¨are Matrix Q∈C^n×n und eine obere DreiecksmatrixT ∈C^n×n, sodass A=QT Q^H.

Aufgabe 6: (4 Punkte) Sei

kAk_F = v u u t

n

X

i=1 n

X

j=1

|a_i,j|²

die Frobeniusnorm einer Matrix A= (a_i,j)ⁿ_i,j=1 ∈C^n×n und kAk₂=p

ρ(A^HA) die Spektralnorm von A. Zeigen Sie, dass gilt:

kAk_F ≥ kAk₂

Aufgabe 7: Programmieraufgabe (4 Punkte)

Implementieren Sie einen L¨oser f¨ur das zweidimensionale Poisson Problem auf dem Gebiet [0,1]× [0,1] mit Dirichlet Randwertbedingungen. Verwenden Sie zur Diskretisierung den 5-Punkte-Stern.

Mit Aufgabe 4 l¨asst sich die Diskretisierungsmatrix leicht erzeugen.

Implementieren Sie außerdem eine Funktion, die ein zweidimensionales Array auf einem ausgew¨ahlten Gitterrechteck in einem dreidimensionalen Bild plottet.

Testen Sie ihr Programm f¨ur ein selbstgew¨ahltes Beispiel. Die exakte L¨osung des Randwertproblems soll dabei bestimmbar sein. Zeichnen Sie dann den FehlerU−Uˆ f¨ur zwei selbst gew¨ahlte Gitterweiten in zwei Plots. Bestimmen Sie außerdem f¨ur beide Fehler kU −Uˆk_∞.

Abgabe bis 12. November 2020, 14:30 Uhr im ILIAS.

Besprechung in den ¨Ubungsgruppen ab dem 16. November 2020.