Quadrik
F¨ ur eine symmetrische n × n-Matrix A, einen Vektor b und eine Konstante c ist
Q : x
tAx + 2b
tx + c = X
j,k
a
j,kx
jx
k+ X
k
b
kx
k+ c = 0 eine Quadrik im R
n. Mit
A ˜ =
c b
tb A
, x ˜ = 1
x
kann man Q auch in der homogenen Form Q : ˜ x
tA˜ ˜ x = 0 darstellen.
Man unterscheidet die folgenden Typen:
kegelige Quadrik: Rang ˜ A = Rang A,
Mittelpunktsquadrik: Rang ˜ A = Rang A + 1, parabolische Quadrik: Rang ˜ A = Rang A + 2.
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Beispiel
Typ der parameterabh¨ angigen Quadrik
Q : x
12+ λx
22+ 2x
2+ λ = 0, λ ∈ R
Matrixschreibweise
Q : x
tAx + 2b
tx + c = 0 ⇐⇒ x ˜
tA˜ ˜ x = 0, x ˜
t= (1, x
t) mit
A =
1 0 0 λ
, b = 0
1
, c = λ , A ˜ =
λ 0 1 0 1 0 1 0 λ
Q ist f¨ ur λ = 0 eine parabolische (Rang ˜ A = Rang A + 2 = 3), f¨ ur λ = ±1 eine kegelige (Rang ˜ A = Rang A = 2) und f¨ ur alle anderen Werte von λ eine Mittelpunktsquadrik (Rang ˜ A = Rang A + 1 = 3).
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