1. F¨ ur welche a ∈ R ist die Matrix

(1)

Proseminar Lineare Algebra I, WS 10/11

2. Klausur

1. F¨ ur welche a ∈ R ist die Matrix





a 0 1

1 1 0

a 0 a





invertierbar? Berechnen Sie f¨ ur diese a auch die Inverse der Matrix.

2. Sei die lineare Abbildung f : R

²

→ R

³

gegeben durch f (x, y) = (y, x − y, 3x). Bestimmen Sie die Matrix von f bez¨ uglich der Basen ((1, 1), (1, −1)) und ((2, 1, 1), (3, 1, 4), (1, 3, 4)).

3. Es sei V der Vektorraum aller reeller Folgen. F¨ ur a ∈ V sei L(a) ∈ V diejenige Folge mit L(a)

n

= a

n+1

f¨ ur alle n ∈ N (also L((a

1

, a

2

, a

3

, . . .)) = (a

2

, a

3

, . . .)).

Zeigen Sie, dass L : V → V linear ist, und bestimmen ker(L) und rg(L).

4. Seien V , W Vektorr¨ aume, B = (v

1

, . . . , v

n

) sei eine Basis von V und C = (w

1

, . . . , w

m

) eine von W . Weiters sei f : V → W eine lineare Abbildung, sodass die Matrix von f bez¨ uglich B und C die folgende Blockmatrix ist

0 E

r

0 0

.

Dabei sei 0 ≤ r ≤ min(n, m) und E

_r

die r × r Einheitsmatrix.

Zeigen Sie, dass (v

₁

, . . . , v

_n−r

) eine Basis von ker(f ) ist und dass (w

₁

, . . . , w

_r

) eine Basis von rg(f ) ist.

5. Seien V ein Vektorraum und f : V → V linear mit f ◦ f = f . Zeigen Sie V = ker(f ) + rg(f ), und

dass diese Summe direkt ist.

(2)

Proseminar Lineare Algebra I, WS 10/11

2. Klausur

1. F¨ ur welche a ∈ R ist die Matrix





a 0 a

a 0 1

1 1 0





invertierbar? Berechnen Sie f¨ ur diese a auch die Inverse der Matrix.

2. Sei die lineare Abbildung f : R

²

→ R

³

gegeben durch f (x, y) = (y, x − y, 3x). Bestimmen Sie die Matrix von f bez¨ uglich der Basen ((1, −1), (1, 1)) und ((2, 1, 1), (1, 3, 4), (3, 1, 4)).

3. Es sei V der Vektorraum aller reeller Folgen. F¨ ur a ∈ V sei R(a) ∈ V diejenige Folge mit R(a)

1

= 0 und R(a)

n

= a

_n−1

f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 2 (also R((a

1

, a

2

, a

3

, . . .)) = (0, a

1

, a

2

, a

3

. . .)).

Zeigen Sie, dass R : V → V linear ist, und bestimmen ker(R) und rg(R).

4. Seien V , W Vektorr¨ aume, B = (v

1

, . . . , v

n

) sei eine Basis von V und C = (w

1

, . . . , w

m

) eine von W . Weiters sei f : V → W eine lineare Abbildung, sodass die Matrix von f bez¨ uglich B und C die folgende Blockmatrix ist

0 0 E

_r

0 .

Dabei sei 0 ≤ r ≤ min(n, m) und E

_r

die r × r Einheitsmatrix.

Zeigen Sie, dass (v

_r+1

, . . . , v

_n

) eine Basis von ker(f ) ist und dass (w

_n−r+1

, . . . , w

_n

) eine Basis von rg(f ) ist.

5. Seien V ein Vektorraum und f : V → V linear mit f ◦ f = f . Zeigen Sie V = ker(f ) + rg(f ), und

dass diese Summe direkt ist.