(1) Sei V ein Vektorraum über K und A ⊆ V eine Teilmenge. Zeige, dass die linearen Hülle von A gegeben ist durch

Studienvertretung Mathematik

Karl-Franzens Universität Graz mathe

Lin Alg I – WS 10/11 Lineare Algebra I - Woess VO-Klausur vom 4.5.2012

(1) Sei V ein Vektorraum über K und A ⊆ V eine Teilmenge. Zeige, dass die linearen Hülle von A gegeben ist durch

L(A) =

X

i=1

λ

a

: a

∈ A, λ

∈ K , n ∈ N

(4P.) (2) Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen V

und W.

a) Zeige, dass Kern und Bild von f jeweils einen Unterraum bildet.

b) Zeige, dass die Summe aus den Dimensionen von Kern und Bild die Dimension von V ergibt.

(8P.) (3) a) Wie sieht die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems aus?

b) Beschreibe und beweise den Zusammenhang zwischen dem Rang von Matrizen und der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen.

c) Für welche Werte des Parameters α ist das Gleichungssystem αx

+ x

= 2 2x

+ (3 − α)x

= 4 lösbar über R ? Wann ist die Lösung eindeutig?

(8P.)

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