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≤ 1 , a ∈ R , zeige man, dass √ | x+x

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Ubungsblatt 05 - Differenzial- und Integralrechnung - WS 2015/16 ¨ (Grabenwarter, Knebl, Mian, P¨ otz, Ranftl, Weissitsch)

36. Mit Hilfe von | a |

4+a

2

1 , a R , zeige man, dass | x+x

0

| 4+x

2

+

4+x

20

2 x 0 , x R . Daraus folgere man, dass f (x) =

4 + x 2 auf ganz R gleichm¨ aßig stetig ist, i.e. zu ε > 0 existiert ein δ ε > 0 sodass | x x 0 | < δ ε ⇒ | f(x) f(x 0 ) | < ε .

37. Man bestimme die Umkehrfunktion x(y) zu (a) y(x) = ln(1 + e x ) x (b) y(x) = 1+ x | x |

38. Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x 1

1

4x

2

1 x 1 . Bestimmen Sie den Definitions- bereich sowie lim

x 0

+

f (x) und lim

x 0

f(x) .

39. Man betrachte die Funktionenfolge f n : R R , f n (x) = n 1 sin(nx) . Bestimmen Sie die (punktweise) Grenzfunktion. Ist die Konvergenz der Funktionenfolge gleichm¨ aßig?

40. Man betrachte die Funktionenfolge f n (x) =

 

2n 2 x falls 0 x 2n 1

2n 2 x + 2n falls 2n 1 x n 1 0 falls n 1 < x 1

Skizzieren Sie eine Funktion f n (x) . Untersuchen Sie, ob die Funktionenfolge punktweise konvergiert oder gleichm¨ aßig konvergiert. Bestimmen Sie

∫ 1 0

f n (x)dx .

41. Zeigen Sie, dass artanh x = 1 2 ln( 1+x 1 x ) , 1 < x < 1

42. Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑

n=1 n+3

n

n

2

(x 1) n und gebe das (offene) Konvergenzintervall an.

(Hinweis: Man ¨ uberlege, dass 3 n

n

0 )

(2)

43. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe ∑

k=0 (k!)

4

(4k)! x k .

44. Unter Verwendung von geometrischen Reihen bestimme man die Potenzreihendarstel-

lung von f(x) = x 1 1 + 2 2 x um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 sowie den Konvergenzradius.

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