Sei V ein unit¨ arer Vektorraum, ϕ ein normaler Endomorphismus von V und ϕ

Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra II Pr¨ asenzaufgaben, Teil 4

Aufgabe 5

Sei V ein unit¨ arer Vektorraum, ϕ ein normaler Endomorphismus von V und ϕ

die zu ϕ adjungierte Abbildung. Zeige: (die Punkte a) und b) wurden schon in der Vorlesung bewiesen) a) Es gilt ker ϕ = ker ϕ

.

b) Ein Vektor v ∈ V ist genau dann Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert λ, wenn v Eigenvektor von ϕ

zum Eigenwert λ ist.

c) Es gilt im ϕ = im ϕ

.

d) Ist ψ ein weiterer normaler Endomorphismus von V , so ist ϕ◦ψ = 0 ¨ aquivalent zu ψ ◦ϕ = 0.

Aufgabe 6

Sei A ∈ O(n, R) eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass dann A sogar eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe 7

Sei f : V −→ W eine bijektive lineare Abbildung zwischen unit¨ aren Vektorr¨ aumen V und W . Zeige, dass es Orthonormalbasen von V und W gibt, bez¨ uglich derer f durch eine Diagonal- matrix beschrieben wird.

Aufgabe 8

Sei n ≥ 1. Die orthogonale Gruppe O(n) ist kompakt. Aus der Iwasawa-Zerlegung folgt daher, dass GL

(R) hom¨ oomorph ist zu dem Produkt von R

(N =

) und einer kompakten Menge.

Bemerkung: Dar¨ uberhinaus gilt, dass O(n) eine maximale kompakte Untergruppe von GL

( R ) ist, und dass alle maximal kompakten Untergruppen zueinander konjugiert sind.

Analoges gilt f¨ ur C und U (n) anstelle von R und O(n).