N existiert eine reelle Konstante M > 0 mit |a n | ≤ M f¨ ur alle n ∈ N ; ferner bedeutet die absolute Konvergenz der Reihe

Dr. Erwin Sch¨ orner

43910: Differential– und Integralrechnung Pr¨ ufungstermin Herbst 2014

— L¨ osungsvorschlag —

I.1. a) Wegen der Beschr¨ anktheit der Folge (a n ) _n∈

N existiert eine reelle Konstante M > 0 mit |a _n | ≤ M f¨ ur alle n ∈ N ; ferner bedeutet die absolute Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

b n gerade die Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

|b n |. Wegen

|a _n b _n | = |a _n |

|{z}

≤M

· |b _n | ≤ M |b _n | f¨ ur alle n ∈ N

besitzt die Reihe

∞

X

n=1

a _n b _n die (wie die Reihe

∞

X

n=1

|b _n | ebenfalls) konvergente Majorante

∞

X

n=1

M |b _n | und ist folglich nach dem Majorantenkriterium selbst absolut konvergent.

b) Die absolut konvergente Reihe

∞

X

n=1

b n ist insbesondere konvergent, so daß die Folge (b _n ) n∈ N ihrer Glieder notwendigerweise eine Nullfolge, insbesondere also beschr¨ ankt ist. Wir betrachten die Folge (a n ) n∈ N mit a n = b n f¨ ur alle n ∈ N und erhalten mit a), daß die Reihe

∞

X

n=1

a _n b _n =

∞

X

n=1

b ² _n

absolut konvergiert.

c) Die Aussage ist falsch: als Gegenbeispiel betrachte man etwa die Folge (a _n ) _n∈

N mit a _n = (−1) ⁿ f¨ ur alle n ∈ N sowie die Reihe

∞

X

n=1

b _n mit b _n = (−1) ⁿ

n f¨ ur alle n ∈ N

mit ∞

X

n=1

a _n b _n =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ · (−1) ⁿ

n =

∞

X

n=1

1

n ;

die Folge (a _n ) _n∈

N ist offensichtlich beschr¨ ankt und die alternierende har- monische Reihe

∞

X

n=1

b _n (nach dem Leibnizschen Kriterium) konvergent, die harmonische Reihe

∞

X

n=1

a _n b _n aber divergent.

I.2. Die zu betrachtende Funktion

ϕ : R → R , ϕ(x) = cosh(cosh(x)) · sinh(x) · cosh(x), ist als Komposition und Produkt der hyperbolischen Funktionen

cosh : R → R , cosh(x) = e ^x + e ^−x

2 ,

und

sinh : R → R , sinh(x) = e ^x − e ^−x

2 ,

beliebig oft differenzierbar, insbesondere also stetig; dabei gilt bekanntlich cosh ⁰ (x) = sinh(x) und sinh ⁰ (x) = cosh(x) f¨ ur alle x ∈ R . a) Zur Bestimmung einer Stammfunktion von ϕ verwenden wir die Substitution

t = cosh(x) mit dt

dx = sinh(x), also dt = sinh(x) dx, und erhalten

Z

ϕ(x) dx = Z

cosh(cosh(x)

| {z }

=t

) · cosh(x)

| {z }

=t

· sinh(x) dx

| {z }

=dt

= Z

cosh(t) · t dt;

ferner ergibt sich mit partieller Integration Z

ϕ(x) dx = Z

cosh(t)

| {z }

u

⁰

(t)

· t

|{z}

v(t)

dt = sinh(t)

| {z }

u(t)

· t

|{z}

v(t)

− Z

sinh(t)

| {z }

u(t)

· 1

|{z}

v

⁰

(t)

dt

= sinh(t) · t − Z

sinh(t) dt = sinh(t) · t − cosh(t) + C

= sinh(cosh(x)) · cosh(x) − cosh(cosh(x)) + C.

Damit ist etwa

Φ : R → R , Φ(x) = sinh(cosh(x)) · cosh(x) − cosh(cosh(x)), eine Stammfunktion von ϕ.

b) Da die Funktion ϕ : R → R stetig ist, ist ihre Integralfunktion f : ]−1, ∞[ → R , f(y) =

Z y

−1

cosh(cosh(x)) · sinh(x) · cosh(x)dx,

nach dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung differenzierbar, und f¨ ur alle y ∈ ]−1, ∞[ gilt

f ⁰ (y) = ϕ(y) = cosh(cosh(y)) · sinh(y) · cosh(y) f¨ ur alle y ∈ ]−1, ∞[. Die stetige Funktion f ist zum einen wegen

f ⁰ (y) = cosh(cosh(y))

| {z }

>0

· sinh(y)

| {z }

<0

· cosh(y)

| {z }

>0

< 0

f¨ ur alle y < 0 auf ]−1, 0] streng monoton fallend und zum anderen wegen f ⁰ (y) = cosh(cosh(y))

| {z }

>0

· sinh(y)

| {z }

>0

· cosh(y)

| {z }

>0

> 0

f¨ ur alle y > 0 auf [0, ∞[ streng monoton wachsend; damit besitzt f genau eine Extremstelle, n¨ amlich ein (sogar globales) Minimum bei y = 0.

I.3. a) Es ist eine nach oben wie nach unten beschr¨ ankte und stetig differenzierbare Funktion f : R → R zu betrachten, so daß f¨ ur ihre Ableitung f ⁰ : R → R der Grenzwert

(∗) c = lim

x→∞ f ⁰ (x)

existiert; zum Nachweis von c = 0 nehmen wir zum Widerspruch c 6= 0 an:

• Im Falle c > 0 gibt es wegen (∗) ein a ∈ R mit f ⁰ (ξ) > ₂ ^c f¨ ur alle ξ > a;

f¨ ur alle x > a existiert nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein ξ ∈ ]a, x[ mit

f (x) − f (a)

x − a = f ⁰ (ξ) >

wegen ξ>a

c 2 , woraus wegen x − a > 0 dann

f(x) − f(a) > c

2 · (x − a) folgt. Wir erhalten

f (x) > f (a) + c 2

|{z} >0

· (x − a)

| {z }

→+∞

x→∞ −→ +∞,

so daß f nicht nach oben beschr¨ ankt sein kann, im Widerspruch zur Voraussetzung.

• Im Falle c < 0 gibt es wegen (∗) ein a ∈ R mit f ⁰ (ξ) < ₂ ^c f¨ ur alle ξ > a;

f¨ ur alle x > a existiert nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein ξ ∈ ]a, x[ mit

f (x) − f (a)

x − a = f ⁰ (ξ) <

wegen ξ>a

c 2 , woraus wegen x − a > 0 dann

f(x) − f(a) < c

2 · (x − a)

folgt. Wir erhalten

f (x) < f (a) + c 2

|{z} <0

· (x − a)

| {z }

→+∞

x→∞ −→ −∞,

so daß f nicht nach unten beschr¨ ankt sein kann, im Widerspruch zur Voraussetzung.

b) Die Aussage ist falsch: als Gegenbeispiel betrachte man f¨ ur a = 1 die Ein- schr¨ ankung des nat¨ urlichen Logarithmus

f : [1, ∞[ → R , f(x) = ln x;

damit ist f stetig differenzierbar mit

x→∞ lim f ⁰ (x) = lim

x→∞

1 x = 0, aber f ist wegen

x→∞ lim f (x) = lim

x→∞ ln x = +∞

nicht (nach oben) beschr¨ ankt.

I.4. Gegeben ist die Funktion

f : R ² → R , f (x, y) = x ⁴ − 3 x ² y + y ² . a) F¨ ur alle (a, b) ∈ R ² ist die Funktion

g : R → R , g(t) = f(ta, tb), zu betrachten; f¨ ur alle t ∈ R gilt damit

g(t) = f (ta, tb) = (ta) ⁴ − 3 (ta) ² (tb) + (tb) ² =

= t ⁴ a ⁴ − 3 t ³ a ² b + t ² b ² = t ² t ² a ⁴ − 3 t a ² b + b ² , also g(0) = 0, und wir treffen die folgende Fallunterscheidung:

• Im Falle b = 0 ist

g(t) = t ⁴ a ⁴ ≥ 0 = g(0) f¨ ur alle t ∈ R ,

damit besitzt g in t = 0 ein globales Minimum, insbesondere also ein lokales Minimum.

• Im Falle b 6= 0 ist b ² > 0, und wegen t ² a ⁴

|{z} →0

− 3 t a ² b

| {z }

→0

−→ t→0 0 gibt es ein δ > 0, so daß f¨ ur alle t ∈ ]−δ, δ[ stets

t ² a ⁴ − 3 t a ² b

< b ² bzw. − b ² < t ² a ⁴ − 3 t a ² b < b ² und damit

g(t) = t ²

|{z} ≥0

· t ² a ⁴ − 3 t a ² b

| {z }

>−b

²

+b ²

| {z }

>0

≥ 0 = g(0)

gilt; damit besitzt g in t = 0 ein lokales Minimum.

b) Es ist f(0, 0) = 0. Wegen

t→0+ lim t = 0 und lim

t→0+ t ² = 0, also lim

t→0+ t, t ²

= (0, 0), gibt es zu jedem r > 0 ein t 0 ∈ R ⁺ mit (t 0 , t ² ₀ ) ∈ K r (0, 0), und es gilt

f t ₀ , t ² ₀

= t ⁴ ₀ − 3 t ² ₀ t ² ₀ + (t ² ₀ ) ² = −t ⁴ ₀ <

wegen t

0

>0 0 ≤ f (0, 0);

dabei bezeichnet K _r (0, 0) die offene Kreisscheibe um (0, 0) mit Radius r.

Folglich besitzt f in (0, 0) kein lokales Minimum.

I.5. Die homogene lineare Differentialgleichung

(D ₀ ) y ⁰⁰ + y = 0

zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt das charakteristische Po- lynom

χ(λ) = λ ² + 1 = (λ − i)(λ + i)

mit den beiden konjugiert–komplexen Nullstellen λ _1,2 = % ± iσ mit % = 0 und σ = 1; damit bilden die beiden Funktionen

ϕ ₁ : R → R , ϕ ₁ (x) = e ^%x cos(σx) = cos x, und

ϕ 2 : R → R , ϕ 2 (x) = e ^%x sin(σx) = sin x,

ein Fundamentalsystem von (D ₀ ). Die gegebene inhomogene lineare Differential- gleichung

(D) y ⁰⁰ + 4 y = 2 cos x − 2 sin x besitzt die rechte Seite

b : R → R , b(x) = 2 cos x − 2 sin x,

der Form b(x) = p ₁ (x) e ^{a x} cos(k x) + p ₂ (x) e ^{a x} sin(k x) mit Polynomfunktionen p ₁ (x) = 1 und p ₂ (x) = 1 jeweils vom Grade m = 0 und der Nullstelle a + ik = i von χ der Ordnung α = 1. F¨ ur die partikul¨ are L¨ osung ϕ _p von (D) w¨ ahlen wir den Ansatz

ϕ _p (x) = q ₁ (x) cos x + q ₂ (x) sin x

mit Polynomfunktionen q ₁ (x) = r ₁ x + s ₁ und q ₂ (x) = r ₂ x + s ₂ vom Grade m + α = 1; nachdem cos x und sin x die homogene Gleichung (D ₀ ) l¨ osen, k¨ onnen wir s ₁ = s ₂ = 0 w¨ ahlen. Wegen

ϕ ⁰ _p (x) = r ₁ (cos x − x sin x) + r ₂ (sin x + x cos x)

= (r ₁ + r ₂ x) cos x + (r ₂ − r ₁ x) sin x und

ϕ ⁰⁰ _p (x) = (r 2 cos x − (r 1 + r 2 x) sin x) + (−r 1 sin x + (r 2 − r 1 x) cos x)

= (2 r ₂ − r ₁ x) cos x − (2 r ₁ + r ₂ x) sin x

ist ϕ _p genau dann L¨ osung von (D), wenn

(2 r 2 − r 1 x) cos x − (2 r 1 + r 2 x) sin x + (r 1 x cos x + r 2 x sin x) = 2 cos x − 2 sin x, also

2 r ₂ cos x − 2 r ₁ sin x = 2 cos x − 2 sin x,

f¨ ur alle x ∈ R gilt; damit erh¨ alt man r ₁ = 1 und r ₂ = 1, insgesamt also die parti-

kul¨ are L¨ osung ϕ _p (x) = x cos x + x sin x. Damit ist die Gesamtheit der Funktionen

ϕ = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 + ϕ p : R → R , ϕ(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + x cos x + x sin x,

mit c ₁ , c ₂ ∈ R die allgemeine L¨ osung von (D).

II.1. F¨ ur ein fest gew¨ ahltes k ≥ 0 sind die Koeffizienten der Potenzreihe

∞

X

n=0

a _n x ⁿ durch den Startwert a ₀ > 0 und die Rekursionsformel

a _n = a ^k _n−1 f¨ ur alle n ∈ N rekursiv definiert.

a) Wir betrachten zun¨ achst die Spezialf¨ alle k = 0 und k = 1 und berechnen jeweils zum Startwert a ₀ = 2 den Wert der Potenzreihe an der Stelle x = ¹ ₂ : i) F¨ ur k = 0 gilt f¨ ur jeden Startwert a 0 > 0 gem¨ aß der Rekursionsformel

a _n = a ⁰ _n−1 = 1 f¨ ur alle n ∈ N , und wir haben die Reihe

∞

X

n=0

a _n x ⁿ = a ₀ x ⁰

|{z}

f¨ ur n=0

+

∞

X

n=1

a _n x ⁿ = a ₀ +

∞

X

n=1

x ⁿ

zu betrachten; diese geometrische Reihe konvergiert genau f¨ ur |x| < 1 und besitzt damit den Konvergenzradius % = 1. Als Wert der Potenz- reihe ergibt sich mit Hilfe der Summenformel f¨ ur geometrische Reihen

∞

X

n=0

a _n x ⁿ = a ₀ +

∞

X

n=1

x ⁿ = a ₀ +

∞

X

n=1

x · x ⁿ⁻¹

=

= a ₀ + x ·

∞

X

n=1

x ⁿ⁻¹ = a ₀ + x ·

∞

X

n=0

x ⁿ = a ₀ + x 1 − x ; speziell f¨ ur a ₀ = 2 und x = ¹ ₂ erh¨ alt man

∞

X

n=0

a _n x ⁿ = a ₀ + x

1 − x = 2 +

1 2

1 − ¹ ₂ = 2 + 1 = 3.

ii) F¨ ur k = 1 gilt gem¨ aß der Rekursionsformel

a _n = a ¹ _n−1 = a n−1 f¨ ur alle n ∈ N ,

mit dem Startwert a ₀ > 0 also a _n = a ₀ f¨ ur alle n ∈ N ⁰ , und wir haben die Reihe

∞

X

n=0

a _n x ⁿ =

∞

X

n=0

a ₀ x ⁿ

zu betrachten; diese geometrische Reihe konvergiert wegen a ₀ 6= 0 genau f¨ ur |x| < 1 und besitzt damit den Konvergenzradius % = 1. Als Wert der Potenzreihe liefert die Summenformel f¨ ur geometrische Reihen

∞

X

n=0

a _n x ⁿ =

∞

X

n=0

a ₀ x ⁿ = a 0

1 − x ; speziell f¨ ur a ₀ = 2 und x = ¹ ₂ erh¨ alt man

∞

X

n=0

a _n x ⁿ = a ₀

1 − x = 2

1 − ¹ ₂ = 2

1 2

= 4.

b) Wir zeigen zun¨ achst f¨ ur a ₀ > 0 und k ≥ 0 die explizite Darstellung a _n = a ^(k ₀

ⁿ

⁾ f¨ ur alle n ∈ N 0

mit vollst¨ andiger Induktion:

• ” n = 0“: wegen k ⁰ = 1 ergibt sich der Induktionsanfang a ₀ = a ¹ ₀ = a ^(k ₀

⁰

⁾ .

• ” n → n + 1“: aus der Induktionsvoraussetzung a n = a ^(k ₀

ⁿ

⁾ folgt in a _n+1 = a ^k _n =

a ^(k ₀

ⁿ

⁾ k

= a ^(k ₀

ⁿ

^·k) = a ^(k ₀

ⁿ⁺¹

⁾ die Induktionsbehauptung.

Zur Bestimmung des Konvergenzradius % der Potenzreihe betrachten wir

a _n+1 a _n

=

a ^(k ₀

ⁿ⁺¹

⁾ a ^(k ₀

ⁿ

⁾

= a ^(k ₀

ⁿ⁺¹

^−k

ⁿ

⁾ = a ^(k ₀

ⁿ

^(k−1)) = exp(k ⁿ (k − 1) ln a ₀ ) und treffen die folgende Fallunterscheidung:

• F¨ ur k ∈ ]0, 1[ ergibt sich

a n+1

a _n

= exp

k ⁿ

|{z} →0

(k − 1) ln a ₀

| {z }

→0

exp stetig

n→∞ −→ exp(0) = 1

unabh¨ angig vom Startwert a ₀ > 0, und wir erhalten % = ¹ ₁ = 1; gem¨ aß a) gilt dies auch f¨ ur k ∈ {0, 1}, insgesamt also f¨ ur k ∈ [0, 1].

• F¨ ur k ∈ ]1, ∞[, also k − 1 > 0, ergibt sich – im Falle a ₀ < 1, also ln a ₀ < 0,

a _n+1 a _n

= exp

k ⁿ

→+∞ |{z}

(k − 1)

| {z }

>0

ln a ₀

| {z }

<0

| {z }

→−∞

n→∞ −→ 0

und damit % = ∞,

– im Falle a ₀ = 1, also ln a ₀ = 0,

a n+1

a _n

= exp(k ⁿ (k − 1) ln a ₀ ) = exp(0) = 1 −→

n→∞ 1

und damit % = ¹ ₁ = 1,

– im Falle a ₀ > 1, also ln a ₀ > 0,

a _n+1 a _n

= exp

k ⁿ

→+∞ |{z}

(k − 1)

| {z }

>0

ln a ₀

| {z }

>0

| {z }

→+∞

n→∞ −→ +∞

und damit % = 0.

II.2. Zu betrachten ist das Gebiet G ⊆ R ² , das von dem Graphen G _f der Funktion f : R → R , f (x) = 1

6

e + 1 e

− 1

3 cosh(3x),

und der x–Achse eingeschlossen wird; dabei ist der Cosinus hyperbolicus cosh : R → R , cosh x = e ^x + e ^−x

2 ,

und mit dem Sinus hyperbolicus

sinh : R → R , sinh x = e ^x − e ^−x

2 ,

gilt bekanntlich

cosh ⁰ x = sinh x und sinh ⁰ x = cosh x sowie cosh ² x − sinh ² x = 1 f¨ ur alle x ∈ R . Wegen

f(x) = 1

3 · e + e ⁻¹

2 − 1

3 cosh(3x) = 1

3 cosh(1) − cosh(3x) mit

f (x) = 0 ⇐⇒ cosh(3x) = cosh(1) ⇐⇒ 3x = ±1 ⇐⇒ x = ± 1 3

f¨ ur alle x ∈ R besitzt f genau die beiden Nullstellen − ¹ ₃ und ¹ ₃ , und f¨ ur alle x ∈

− ¹ ₃ , ¹ ₃

gilt |3x| < 1, also cosh(3x) < cosh(1) und damit f (x) > 0; wir erhalten damit zur Veranschaulichung f¨ ur G ⊆ R ² die folgende Skizze:

- 6

x y

−

¹

3

1 3

f(0)

G

f

G

a) F¨ ur den Fl¨ acheninhalt A _G des Gebietes G ⊆ R ² ergibt sich A _G =

Z

¹₃

−

¹₃

f(x) dx = Z

¹₃

−

¹₃

1

3 cosh(1) − cosh(3x) dx

= 1

3

cosh(1) · x − sinh(3x) 3

¹₃

−

¹₃

= 1 9

cosh(1) · (3x) − sinh(3x)

¹₃

−

¹₃

= 1

9

(cosh(1) − sinh(1)) − (− cosh(1) − sinh(−1)

| {z }

=− sinh(1)

)

= 2

9 (cosh(1) − sinh(1)) = 2 9

e + e ⁻¹

2 − e − e ⁻¹ 2

= 2

9 e ⁻¹ .

b) Der Rand ∂G des Gebietes G ⊆ R ² setzt sich aus dem jeweils zwischen den beiden Nullstellen − ¹ ₃ und ¹ ₃ gelegenen Teil (i) der x–Achse und (ii) des Graphen G _f zusammen:

• Bei (i) handelt es sich um eine Strecke der L¨ ange L _(i) = 1

3 −

− 1 3

= 2 3 .

• Bei (ii) handelt es sich um die Bildmenge der Kurve ϕ :

− 1 3 , 1

3

→ R ² , ϕ(t) = (t, f(t));

da f stetig differenzierbar mit f ⁰ (x) = − 1

3 sinh(3x) · 3

= − sinh(3x)

f¨ ur alle x ∈ R ist, ist auch die Kurve ϕ stetig differenzierbar, und f¨ ur alle t ∈

− ¹ ₃ , ¹ ₃

besitzt der Tangentialvektor ϕ ⁰ (t) = (1, f ⁰ (t)) die L¨ ange kϕ ⁰ (t)k = p

1 ² + (f ⁰ (t)) ² = p

1 + (− sinh(3t)) ² =

= q

1 + sinh ² (3t) = q

cosh ² (3t) = |cosh(3t)| = cosh(3t).

Damit ist die Kurve ϕ rektifizierbar, und f¨ ur ihre Bogenl¨ ange gilt L _(ii) =

Z

¹₃

−

¹

3

kϕ ⁰ (t)k dt = Z

¹₃

−

¹

3

cosh(3t) dt =

sinh(3t) 3

¹₃

−

¹₃

=

= sinh(1)

3 − sinh(−1)

3 = 2

3 sinh(1) = 2

3 · e − e ⁻¹

2 = e − e ⁻¹ 3 . F¨ ur den Umfang L des Gebietes G ⊆ R ² ergibt sich damit

L = L (i) + L (ii) = 2

3 + e − e ⁻¹

3 = 2 + e − e ⁻¹

3 .

II.3. Zu betrachten ist die abschnittsweise definierte Funktion f : ]−1, 1[ → R , f (x) =

( 1

n , falls _n ¹ ≤ |x| < _n−1 ¹ f¨ ur n ∈ N mit n ≥ 2, 0, falls x = 0.

a) F¨ ur den Graphen von f ergibt sich die folgende Skizze:

- 6

x y

1

1

2 1 3 1 4 1 5 1

0

6

−1 ⁻

¹2

−

¹₃

−

¹₄

1 2

1 3 1 4

r b

r b

r b r b r b r

b

r b

r b b rb r

G f

b) F¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[ mit x 6= 0 gibt es ein n ∈ N mit n ≥ 2 und ¹ _n ≤ |x| < _n−1 ¹ , und nach Definition von f ergibt sich

f (x) = _n ¹ > 0, also |f (x)| = _n ¹ ≤ |x| , und wegen

|f (x) − f (0)| = |f (x) − 0| = |f(x)| ≤ |x| −→

x→0 0 folgt mit Hilfe des Schrankenlemmas

|f (x) − f (0)| −→

x→0 0 bzw. f (x) −→

x→0 f (0);

damit ist f an der Stelle a = 0 stetig.

c) Wir betrachten den Differenzenquotienten von f an der Stelle a = 0 und erhalten

f (x) − f (0)

x − 0 = f(x) − 0

x − 0 = f(x)

x f¨ ur alle x ∈ ]−1, 1[ mit x 6= 0;

damit gilt f¨ ur die Folge (a _n ) n≥2 mit a _n = ¹ _n wegen f (a _n ) = ¹ _n zum einen f (a _n ) − f (0)

a _n − 0 = f (a _n ) a _n =

1 n 1 n

= 1 −→

n→∞ 1

sowie f¨ ur die Folge (b _n ) n≥2 mit b _n = − ¹ _n wegen f (b _n ) = _n ¹ zum anderen f(b _n ) − f(0)

b _n − 0 = f (b _n ) b _n =

1 n

− _n ¹ = −1 −→

n→∞ −1.

Folglich besitzt der Differenzenquotient von f an der Stelle a = 0 keinen Grenzwert f¨ ur x → 0, so daß f an der Stelle a = 0 nicht differenzierbar ist.

II.4. Zu betrachten ist die Funktion

f : [1, ∞[ → R , f (x) = Z x

1

t e

t

ln t dt, also eine Integralfunktion der Funktion

ϕ : [1, ∞[ → R , ϕ(x) = x

e x

ln x;

f¨ ur diese gilt gem¨ aß der Definition der allgemeinen Potenz a ^b = exp(b ln a) f¨ ur alle a > 0 und b ∈ R wegen

x e

x

= exp x ln x

e

= exp x(ln x − ln e

|{z} =1

)

= exp(x ln x − x) damit

ϕ(x) = x e

x

ln x = exp(x ln x − x) · ln x

f¨ ur alle x ∈ [1, ∞[. Folglich ist ϕ als Summe, Produkt und Komposition linearer

Funktionen sowie der Exponentialfunktion und des Logarithmus insbesondere

stetig.

a) Zur Berechnung von f (x) betrachten wir die differenzierbare Funktion g : [1, ∞[ → R , g (t) = t ln t − t,

mit

g ⁰ (t) =

1 · ln t + t · 1 t

− 1 = (ln t + 1) − 1 = ln t und erhalten mit Hilfe der Substitutionsregel

f (x) = Z x

1

ϕ(t) dt = Z x

1

exp(t ln t − t) · ln t dt

= Z x

1

exp(g(t)) · g ⁰ (t) dt = Z g(x)

g(1)

exp(u) du

=

Z x ln x−x

−1

exp(u) du =

exp(u)

x lnx−x

−1

= exp(x ln x − x) − exp(−1) = x e

x

− e ⁻¹

f¨ ur alle x ∈ [1, ∞[.

b) Gem¨ aß obigen ¨ Uberlegungen ist die Integrandenfunktion ϕ stetig; damit ist ihre Integralfunktion f nach dem Hauptsatz der Differential– und Integral- rechnung differenzierbar, und f¨ ur alle x ∈ [1, ∞[ gilt

f ⁰ (x) = ϕ(x) = exp(x ln x − x) · ln x.

Wegen ln 1 = 0 und ln e = 1 ergibt sich

f ⁰ (1) = exp(1 · ln 1 − 1) · ln 1 = exp(−1) · 0 = 0 und

f ⁰ (e) = exp(e · ln e − e) · ln e = exp(0) · 1 = e ⁰ = 1, es ist also

f ⁰ (1) = 0 < ¹ _e < 1 = f ⁰ (e);

damit existiert f¨ ur die stetige Funktion f ⁰ = ϕ auf dem Intervall [1, e] nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle ξ mit f ⁰ (ξ) = ¹ _e , und damit besitzt die Tangente an den Graphen G _f an der Stelle ξ ∈ [1, e] die Steigung f ⁰ (ξ) = ¹ _e . II.5. In Abh¨ angigkeit von einem positiven Parameter k ∈ R ⁺ ist die lineare Differen-

tialgleichung

(D) y ⁰⁰ + 2 k y ⁰ + k ² y = 3 x ² − 2 zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu betrachten.

a) Die zugeh¨ orige homogene lineare Differentialgleichung (D ₀ ) y ⁰⁰ + 2 k y ⁰ + k ² y = 0

zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt das charakteristische Polynom

χ(λ) = λ ² + 2 k λ + k ² = (λ + k) ²

mit der doppelten Nullstelle λ = −k; damit bilden die beiden Funktionen ϕ ₁ : R → R , ϕ ₁ (x) = e ^{−k x} , und ϕ ₂ : R → R , ϕ ₂ (x) = x e ^{−k x} , ein Fundamentalsystem von (D ₀ ), und die Gesamtheit der Funktionen

ϕ = c ₁ ϕ ₁ + c ₂ ϕ ₂ : R → R , ϕ(x) = c ₁ e ^{−k x} + c ₂ x e ^{−k x} ,

mit c ₁ , c ₂ ∈ R stellt die allgemeine L¨ osung von (D ₀ ) dar. Die noch freien Konstanten passen wir den gegebenen Anfangswerten

y(0) = 0 und y ⁰ (0) = 1 an; dabei ist

ϕ(x) = (c 1 + c 2 x) e ^{−k x} und damit

ϕ ⁰ (x) = c ₂ e ^{−k x} + (c ₁ + c ₂ x) e ^{−k x} (−k)

= ((c ₂ − k c ₁ ) − k c ₂ x) e ^{−k x} f¨ ur alle x ∈ R . Wegen

ϕ(0) = 0 ⇐⇒ c ₁ e ⁰ = 0 ⇐⇒ c ₁ = 0 und

ϕ ⁰ (0) = 1 ⇐⇒ (c 2 − k c 1 ) e ⁰ = 1 ⇐⇒

c

1

=0 c 2 = 1 ist die Funktion

ϕ : R → R , ϕ(x) = x e ^{−k x} , die L¨ osung des gestellten Anfangswertproblems.

b) Die inhomogene lineare Differentialgleichung (D) besitzt die rechte Seite b : R → R , b(x) = 3 x ² − 2,

der Form b(x) = p(x) e ^{a x} mit der Polynomfunktion p(x) = 3 x ² − 2 vom Grade m = 2 und a = 0. Wegen k > 0 ist a keine Nullstelle von χ, und wir w¨ ahlen f¨ ur die partikul¨ are L¨ osung ϕ _p von (D) den Ansatz

ϕ _p (x) = q(x) = r x ² + s x + t

mit einer Polynomfunktion q(x) = r x ² + s x + t ebenfalls vom Grade m = 2.

Wegen

ϕ ⁰ _p (x) = 2 r x + s und ϕ ⁰⁰ _p (x) = 2 r ist ϕ _p genau dann L¨ osung von (D), wenn

2 r + 2 k (2 r x + s) + k ² r x ² + s x + t

= 3 x ² − 2, also

k ² r x ² + 4 k r + k ² s

x + 2 r + 2 k s + k ² t

= 3 x ² − 2, f¨ ur alle x ∈ R gilt; durch Koeffizientenvergleich ergibt sich

k ² r = 3, 4 k r + k ² s = 0 und 2 r + 2 k s + k ² t = −2,

also

r = 3

k ² , dann s = − 4 k r

k ² = − 12 k ³ schließlich

t = −2 − (2 r + 2 k s)

k ² = − 2

k ² + 18 k ⁴ , und folglich

ϕ _p : R → R , ϕ _p (x) = 3

k ² x ² − 12

k ³ x − 2 k ² + 18

k ⁴ . Damit ist die Gesamtheit der Funktionen

ϕ = c ₁ · ϕ ₁ + c ₂ · ϕ ₂ + ϕ _p : R → R ,

ϕ(x) = c ₁ e ^{−k x} + c ₂ x e ^{−k x} + 3

k ² x ² − 12

k ³ x − 2 k ² + 18

k ⁴ ,

mit c ₁ , c ₂ ∈ R die allgemeine L¨ osung von (D).

III.1. a) Es ist

∞

X

n=0

3 ⁻ⁿ (n + 1)! =

∞

X

n=0

3 ^1−(n+1) (n + 1)! =

∞

X

n=0

3 · 3 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ (n + 1)! =

= 3 ·

∞

X

n=0

3 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ (n + 1)! = 3 ·

∞

X

n=0

( ¹ ₃ ) ⁿ⁺¹ (n + 1)! = 3 ·

∞

X

n=1

( ¹ ₃ ) ⁿ n! =

= 3

∞

X

n=0

( ¹ ₃ ) ⁿ

n! − ( ¹ ₃ ) ⁰ 0!

!

= 3 exp( ¹ ₃ ) − 1

= 3 √

³

e − 1

; dabei geht die Konvergenz der Exponentialreihe an der Stelle x = ¹ ₃ ein.

b) Zu betrachten ist die Reihe

∞

X

n=1

a n mit a n = (x − 1) ⁿ

n · 2 ⁿ f¨ ur alle n ∈ N . Wegen p

n

|a _n | =

ⁿ

s

(x − 1) ⁿ n · 2 ⁿ

=

ⁿ

r |x − 1| ⁿ

n · 2 ⁿ = |x − 1|

√

n

n · 2 −→

n→∞

|x − 1|

2 ist die Reihe

∞

X

n=1

a _n nach dem Wurzelkriterium

• f¨ ur alle x ∈ R mit ^|x−1| ₂ < 1 (absolut) konvergent, wegen

|x − 1|

2 < 1 ⇐⇒ |x − 1| < 2 ⇐⇒

⇐⇒ −2 < x − 1 < 2 ⇐⇒ −1 < x < 3 also f¨ ur x ∈ ]−1, 3[, sowie

• f¨ ur alle x ∈ R mit ^|x−1| ₂ > 1 divergent, wegen

|x − 1|

2 > 1 ⇐⇒ |x − 1| > 2 ⇐⇒

⇐⇒ x − 1 < −2 oder 2 < x − 1

⇐⇒ x < −1 oder 3 < x also f¨ ur x ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]3, ∞[.

Es sind noch die F¨ alle x = −1 und x = 3 zu untersuchen:

• F¨ ur x = −1 ist die Reihe

∞

X

n=1

(x − 1) ⁿ n · 2 ⁿ =

∞

X

n=1

(−2) ⁿ n · 2 ⁿ =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ n

als alternierende harmonische Reihe (nach dem Leibnizschen Kriterium) konvergent, und

• f¨ ur x = 3 ist die Reihe

∞

X

n=1

(x − 1) ⁿ n · 2 ⁿ =

∞

X

n=1

2 ⁿ n · 2 ⁿ =

∞

X

n=1

1

n

als harmonische Reihe divergent.

Insgesamt konvergiert also die gegebene Reihe genau f¨ ur alle x ∈ [−1, 3[.

III.2. a) Zu betrachten ist die Funktion

f : ]3, ∞[ → R , f (x) =

Z x

²

+x 3

1 t ³ + 1 dt.

Die Integrandenfunktion

ϕ : ]0, ∞[ → R , ϕ(t) = 1 t ³ + 1 ,

ist (als gebrochenrationale Funktion) stetig, besitzt also nach dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung eine Stammfunktion Φ : ]0, ∞[ → R . Wir erhalten

f (x) =

Z x

²

+x 3

1

t ³ + 1 dt =

Z x

²

+x 3

ϕ(t) dt =

Φ(t) x

²

+x

3

= Φ(x ² + x) − Φ(3) f¨ ur alle x ∈ ]3, ∞[; damit ist f (von der additiven Konstanten −Φ(3) abgese- hen) die Komposition der differenzierbaren Funktion Φ und einer (ebenfalls differenzierbaren) quadratischen Funktion. Damit ist f nach der Kettenregel differenzierbar, und f¨ ur alle x ∈ ]3, ∞[ ergibt sich

f ⁰ (x) = Φ ⁰ (x ² + x) · (2 x + 1) = ϕ(x ² + x) · (2 x + 1) = 2 x + 1 (x ² + x) ³ + 1 . b) Die gegebene Kurve

f : [0, 2π] → R ² , f (x) = e ^−t cos t, e ^−t sin t , besitzt die beiden Koordinatenfunktionen

f ₁ : [0, 2π] → R ² , f ₁ (x) = e ^−t cos t, und

f ₂ : [0, 2π] → R ² , f ₂ (x) = e ^−t sin t;

diese sind (als Produkte einer Exponentialfunktion und trigonometrischer Funktionen) stetig differenzierbar, und f¨ ur alle t ∈ [0, 2π] gilt

f ₁ ⁰ (t) = (−e ^−t ) cos t + e ^−t (− sin t) = −e ^−t (cos t + sin t) und

f ₂ ⁰ (t) = (−e ^−t ) sin t + e ^−t cos t = e ^−t (cos t − sin t) .

Damit ist die Kurve f stetig differenzierbar, und f¨ ur alle t ∈ [0, 2π] besitzt der Tangentialvektor f ⁰ (t) = (f ₁ ⁰ (t), f ₂ ⁰ (t)) wegen

kf ⁰ (t)k ² = (f ₁ ⁰ (t)) ² + (f ₂ ⁰ (t)) ² =

= (−e ^−t (cos t + sin t)) ² + (e ^−t (cos t − sin t)) ² =

= (e ^−t ) ² cos ² t + 2 cos t sin t + sin ² t + +(e ^−t ) ² cos ² t − 2 cos t sin t + sin ² t

=

= 2 (e ^−t ) ² cos ² t + sin ² t

= 2 (e ^−t ) ²

die L¨ ange

kf ⁰ (t)k = p

2 (e ^−t ) ² = √ 2 e ^−t ;

folglich ist die Kurve f rektifizierbar, und f¨ ur ihre Bogenl¨ ange L ergibt sich

L =

Z 2π 0

kf ⁰ (t)k dt = Z 2π

0

√ 2 e ^−t dt = √ 2 ·

Z 2π 0

e ^−t dt =

= √

2 ·

−e ^−t 2π

0 = √

2 ·

(−e ^−2π ) − (−e ⁰ )

= √

2 1 − e ^−2π .

III.3. F¨ ur alle x ∈ ]0, π[ gilt

x > 0 und sin x > 0, also sin x x > 0,

und gem¨ aß der Definition der allgemeinen Potenz a ^b = exp(b ln a) f¨ ur alle a > 0 und b ∈ R ergibt sich

sin x x

³

x2

= exp 3

x ² ln sin x x

= exp

3 (ln(sin x) − ln x) x ²

,

und wir betrachten zun¨ achst den Grenzwert der inneren Funktion f¨ ur x → 0+;

dabei fließt mehrfach die Stetigkeit von Sinus und Cosinus an der Stelle 0 ein. Es ist

x→0+ lim sin x

x

L’H =

”

0 0

“

x→0+ lim cos x

1 = lim

x→0+ cos x = cos 0 = 1, also

x→0+ lim 3 (ln(sin x) − ln x) = 3 · lim

x→0+ ln

sin x x

| {z }

→1

ln stetig = 3 · ln 1 = 0,

und durch mehrfache Anwendung der Regel von de L’Hospital ergibt sich

x→0+ lim 3

x ² ln sin x

x = lim

x→0+

3 (ln(sin x) − ln x) x ²

L’H =

”

0 0

“

x→0+ lim

3 ^cos _sin ^x _x − ¹ _x

2 x = lim

x→0+

3 (x cos x − sin x) 2 x ² sin x

L’H =

”

0 0

“

x→0+ lim

3 ((cos x − x sin x) − cos x) 2 (2 x sin x + x ² cos x)

= lim

x→0+

−3 x sin x

2 x (2 sin x + x cos x) = lim

x→0+

−3 sin x 2 (2 sin x + x cos x)

L’H =

”

0 0

“

x→0+ lim

−3 cos x

2 (2 cos x + (cos x − x sin x))

= lim

x→0+

−3 cos x

6 cos x − 2 x sin x = −3 cos 0

6 cos 0 − 2 · 0 · sin 0 = − 1 2 ; die Stetigkeit der Exponentialfunktion an der Stelle − ¹ ₂ liefert schließlich

x→0+ lim

sin x x

³

x2

= lim

x→0+ exp 3

x ² ln sin x x

= exp

− 1 2

= 1

√ e .

Wegen

x→0− lim

sin x x

_x³₂

= lim

x→0+

sin(−x)

−x

_(−x)2³

=

= lim

x→0+

− sin x

−x

_x³₂

= lim

x→0+

sin x x

_x³₂

= 1

√ e

ergibt sich insgesamt

x→0 lim

sin(x) x

³

x2

= 1

√ e .

III.4. Das Quadrat

D = [−2, 2] × [−2, 2] ⊆ R ²

mit den Eckpunkten (−2, −2), (2, −2), (2, 2) und (−2, 2) ist eine sowohl abge- schlossene als auch beschr¨ ankte und damit kompakte Teilmenge von R ² ; dar¨ uber hinaus ist die Funktion

f : D → R , f(x, y) = 2 x y − x + y,

als Polynomfunktion insbesondere stetig. Nach dem Satz von Weierstraß besitzt damit die stetige Funktion f auf der kompakten Menge D eine globale Minimal- stelle (p ₁ , q ₁ ) ∈ D und eine globale Maximalstelle (p ₂ , q ₂ ) ∈ D, f¨ ur alle (x, y) ∈ D gilt also f (p ₁ , q ₁ ) ≤ f (x, y ) ≤ f (p ₂ , q ₂ ). Zur Ermittlung der globalen Extremstel- len (p, q) ∈ D von f haben wir die beiden folgenden F¨ alle zu unterscheiden:

• Der Punkt (p, q) liegt auf dem Rand ∂D des Quadrats D, also auf einer der vier Quadratseiten:

– F¨ ur die Punkte (−2, t) mit t ∈ [−2, 2] der linken Quadratseite gilt f(−2, t) = 2 · (−2) · t − (−2) + t = −3 t + 2;

da die lineare Hilfsfunktion

h ₁ : [−2, 2] → R , h ₁ (t) = −3 t + 2,

ihre Extrema nur in den beiden Randpunkten ihres Definitionsintervalls, also in t = −2 und t = 2 annehmen kann, kommen f¨ ur (p, q) nur die Eckpunkte (−2, −2) und (−2, 2) in Frage.

– F¨ ur die Punkte (2, t) mit t ∈ [−2, 2] der rechten Quadratseite gilt f(2, t) = 2 · 2 · t − 2 + t = 5 t − 2;

da die lineare Hilfsfunktion

h ₂ : [−2, 2] → R , h ₂ (t) = 5 t − 2,

ihre Extrema nur in den beiden Randpunkten ihres Definitionsintervalls,

also in t = −2 und t = 2 annehmen kann, kommen f¨ ur (p, q) nur die

Eckpunkte (2, −2) und (2, 2) in Frage.

– F¨ ur die Punkte (t, −2) mit t ∈ [−2, 2] der unteren Quadratseite gilt f (t, −2) = 2 · t · (−2) − t + (−2) = −5 t − 2;

da die lineare Hilfsfunktion

h ₃ : [−2, 2] → R , h ₃ (t) = −5 t − 2,

ihre Extrema nur in den beiden Randpunkten ihres Definitionsintervalls, also in t = −2 und t = 2 annehmen kann, kommen f¨ ur (p, q) nur die Eckpunkte (−2, −2) und (2, −2) in Frage.

– F¨ ur die Punkte (t, 2) mit t ∈ [−2, 2] der oberen Quadratseite gilt f (t, 2) = 2 · t · 2 − t + 2 = 3 t + 2;

da die lineare Hilfsfunktion

h ₄ : [−2, 2] → R , h ₄ (t) = 3 t + 2,

ihre Extrema nur in den beiden Randpunkten ihres Definitionsintervalls, also in t = −2 und t = 2 annehmen kann, kommen f¨ ur (p, q) nur die Eckpunkte (−2, 2) und (2, 2) in Frage.

• Der Punkt (p, q) liegt im Innern

◦

D des Quadrats D; da f als Polynomfunk- tion insbesondere partiell differenzierbar ist, ist dann (p, q) ein kritischer Punkt von f mit grad f(p, q) = (0, 0). Wegen

∂ _x f (x, y) = 2 y − 1 und ∂ _y f (x, y) = 2 x + 1 f¨ ur alle (x, y) ∈ D kommt f¨ ur (p, q) nur der Punkt (− ¹ ₂ , ¹ ₂ ) in Frage.

Mit Hilfe der Wertetabelle

(p, q) (−2, −2) (−2, 2) (2, −2) (2, 2) (− ¹ ₂ , ¹ ₂ )

f (p, q) 8 −4 −12 8 ¹ ₂

erkennt man, daß f den maximalen Funktionswert 8 in den Punkten (−2, −2) und (2, 2) sowie den minimalen Funktionswert −12 im Punkt (2, −2) annimmt.

III.5. F¨ ur eine stetige Funktion f : R → R mit der Eigenschaft (?) f (x + π) = f (x) f¨ ur alle x ∈ R werde die homogene lineare Differentialgleichung

(∗) y ⁰⁰ (x) + f (x) y(x) = 0

zweiter Ordnung betrachtet; es sei φ : R → R eine L¨ osung von (∗).

a) Die Funktion φ : R → R ist als L¨ osung von (∗) zweimal differenzierbar mit

φ ⁰⁰ (x) + f (x) φ(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ R .

Damit ist (nach der Kettenregel) auch die Funktion ψ : R → R , ψ(x) = φ(x + π), zweimal differenzierbar, und f¨ ur alle x ∈ R gilt

ψ ⁰ (x) = φ ⁰ (x + π) und ψ ⁰⁰ (x) = φ ⁰⁰ (x + π) und damit

ψ ⁰⁰ (x) + f(x) ψ(x) = φ ⁰⁰ (x + π) + f (x) φ(x + π) =

=

(?) φ ⁰⁰ (x + π) + f (x + π) φ(x + π) = 0;

folglich ist auch ψ eine L¨ osung von (∗).

b) F¨ ur jede Vorgabe von y ₀ ∈ R und y ₀ ⁰ ∈ R besitzt das Anfangswertproblem (∗) y ⁰⁰ (x) + f (x) y(x) = 0 mit y(0) = y 0 und y ⁰ (0) = y ₀ ⁰ eine eindeutig bestimme maximale L¨ osung. F¨ ur y ₀ = φ(0) und y ⁰ ₀ = φ ⁰ (0) ist dies neben der Funktion φ selbst wegen

ψ(0) = φ(0 + π) = φ(π) = φ(0) und ψ ⁰ (0) = φ ⁰ (0 + π) = φ ⁰ (π) = φ ⁰ (0) auch die Funktion ψ; folglich ist ψ = φ, und wir erhalten

φ(x + π) = ψ(x) = φ(x)

f¨ ur alle x ∈ R .