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Sei P ∈Rn×n eine reelle, symmetrische, positiv-definite n×n-Matrix

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. F. W. Kn¨oller SS 2008

1. ¨Ubungsblatt zur VL ”Dynamische Systeme”

Abgabe: Mi., 11.4.2008, vor der VL

1.1.

Bekanntlich ist die Menge C der reellen 2×2-Matrizen A∈R2×2 der Form

a b

−b a

bez¨uglich der ¨ublichen Matrizenaddition und -multiplikation ein K¨orper.

Außerdem induziert

a b

−b a

7→a+ib einen K¨orperisomorphismus C ∼= C auf den K¨orper C der komplexen Zahlen.

Folgere: exp

a b

−b a

= exp(a).

cosb sinb

−sinb cosb

. Skiziere die Kurven

t7→

expt

a b

−b a

·

1

0

.

1.2.

Sei P ∈Rn×n eine reelle, symmetrische, positiv-definite n×n-Matrix.

Zeige:

Es gibt ein B∈Rn×n , so dass

(1)tB=B (2)expB=P.

Folgere, dass P beliebige Wurzeln hat.

Ist expS positiv-definit, falls tS=S eine reelle, symmetrische n×n-Matrix ist?

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