Universit¨ at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 2019
Blatt 1 Aufgabe 1 Zeigen Sie
∀n ∈ N
≥4: n
2≤ 2
n. Aufgabe 2
Beweisen Sie die Dreiecksungleichung:
∀a, b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b|.
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gege- benfalls den jeweiligen Grenzwert.
(a)
n
2+ 2 3n
2− 2
n∈N
(b)
2
n+ 3
n2
n+1+ 3
n+1n∈N
(c)
q n + √
2n − q
n − √ 2n
n∈N
Aufgabe 4
Beweisen Sie das Sandwich-Lemma: Es seien (a
n), (b
n), und (c
n) reellwertige Folgen mit a
n≤ b
n≤ c
nf¨ ur fast alle n ∈ N und lim
n→∞
a
n= lim
n→∞
c
nist. Dann konvergiert (b
n) und es gilt lim
n→∞
b
n= lim
n→∞
a
n= lim
n→∞
c
n. Aufgabe 5
Zeigen Sie, dass nachfolgende Folgen Nullfolgen sind.
(a)
2
nn!
n∈N
(b)
2
n· n
3n!
n∈N
Aufgabe 6
Untersuchen Sie, ob f¨ ur die folgenden Mengen das Supremum und das Infimum existiert und geben Sie sie gegebenenfalls an (mit Beweis).
(a) M = N (b) M = R (c) M = n
n + 1 mit n ∈ N
(d) M = {sin(x) mit x ∈ R } (e) M = {x ∈ R : x
2− x = 1}
(f) M = (
nX
k=0
