Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 3
Abgabe am 29. April in der Übung bzw. in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Poissonverteilung). Zeigen Sie, daß die Poissonverteilung P
λ(k) = e
−λλ
k/k!
der Rekurrenzbedingung
P
λ(k) = λ
k P
λ(k − 1)
genügt. Bestimmen Sie für gegebenes λ > 0 die Werte von k, für die P
λ(k) sein Maximum annimmt.
Aufgabe 2. Ein Testat im Fach Stochastik sei wie folgt beschaffen: Der zu prüfende Student wählt aus 50 vorliegenden Prüfungsfragen blind 10 Fragen aus. Das Testat gelte als bestanden, wenn er von diesen 10 Fragen mindestens 4 Fragen richtig beantworten kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testat
(a) bestanden wird, obwohl der Student nur 10 der 50 Prüfungsfragen beantworten kann, (b) nicht bestanden wird, obwohl der Student 30 der 50 Prüfungsfragen beantworten
kann.
Aufgabe 3 (Bonferroni-Ungleichung). Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A
1, . . . , A
k∈ A. Zeigen Sie
P
k
[
i=1
A
i!
≥
k
X
i=1
P (A
i) − X
1≤i<j≤k
