Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie die folgende Aussage mit Induktion: Sind A

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 3 Abgabe bis 6. Mai 07:30

Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie die folgende Aussage mit Induktion: Sind A

, . . . , A

∈ A unabh¨ angige Ereignisse und B

∈ {A

, A

} f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n, dann sind die Ereignisse B

, . . . , B

unabh¨ angig.

Aufgabe 2. Sie haben sich im Nationalpark von Oberrabenstein verlaufen. Von den Besuchern im Park sind zwei Drittel Touristen. Fragen nach der Richtung zum Ausgang werden von diesen mit Wahrscheinlichkeit 3/4 richtig beantwortet. Die Touristen sind sich jedoch unsicher und ¨ andern manchmal ihre Meinung. Daher kommt es, dass die Antworten ein und desselben Touristen bei mehrmaligem Nachfragen unabh¨ angig voneinaner sind.

Wenn man hingegen einen Oberrabensteiner fragt, ist die Antwort immer falsch.

(a) Sie fragen eine Person, ob der Ausgang sich in Richtung Osten oder Westen befindet.

Als Antwort erhalten Sie Osten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtig ist?

(b) Sie fragen dieselbe Person nochmals und bekommen dieselbe Antwort. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, nun die richtige Antwort erhalten zu haben, 1/2 betr¨ agt.

(c) Sie richten dieselbe Frage ein drittes Mal an dieselbe Person. Wieder mit der Antwort Osten. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort stimmt?

(d) Ein viertes Mal wird der geduldige Passant von ihnen gefragt, doch die Antwort ist wieder Osten. Zeigen Sie, dass die Antwort mit Wahrscheinlichkeit 27/70 richtig ist.

(e) Zeigen Sie f¨ ur den Fall, dass die vierte Antwort Westen w¨ are, dass die Richtung Osten mit Wahrscheinlichkeit 9/10 zutrifft.

Aufgabe 3. (a) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B ∈ A mit P (B) > 0.

Setzen Sie P

(C) := P (C | B) und rechnen Sie nach, dass P

σ-additiv auf A ist.

Setzen Sie weiterhin A

:= {A ∩ B | A ∈ A} und zeigen Sie, dass (B, A

, P

) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.

(b) Sei J ⊂ P (Ω) ein durchschnittsstabiles Mengensystem. Beweisen oder widerlegen Sie:

(i) n ∈ N , A

, . . . , A

∈ J ⇒ ∩

∈ J ,

(ii) A

∈ J , i ∈ N ⇒ ∩

∈ J ,

(iii) A

∈ J , i ∈ R ⇒ ∩

∈ J .

(c) Sei J ⊂ P(Ω) durchschnittsstabil. Geben Sie einen vollst¨ andigen Beweis f¨ ur die Tatsache, dass das von J erzeugte Dynkinsystem D(J ) eine σ-Algebra ist.

(d) Zeigen Sie: Jede Algebra ist ein Halbring.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die Poissonverteilung P

(k) = e

λ

/k! der Rekurrenzbe- dingung

P

(k) = λ

k P

(k − 1)

gen¨ ugt. Bestimmen Sie f¨ ur gegebenes λ die Werte von k, f¨ ur die P

(k) sein Maximum

annimmt.