Aufgabe 1. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgr¨ oßen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie:

(1)

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 9

Abgabe bis 14. Juni 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgr¨ oßen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie:

(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sind X und Y unabh¨ angig.

(b) Sind X und Y unabh¨ angig, so gilt f¨ ur jedes A ∈ σ(X) ∩ σ(Y )

P (A) = 0 oder P (A) = 1.

(c) Sei Y nichtnegativ. Y ist genau dann σ(X)-messbar, wenn es eine Borel-messbare Funktion g : R → [0, ∞] gibt mit Y = g ◦ X.

Hinweis: F¨ ur Teil (c) k¨ onnte ein Approximationssatz aus der Maßtheorie n¨ utzlich sein.

Aufgabe 2. Es bezeichne T −1 die Wartezeit, zu der die unbegrenzt lange laufende symmetri- sche Irrfahrt zum ersten Mal den Wert −1 erreicht. T −1 nimmt also seine Werte in der Menge {1, 3, 5, . . . , ∞} an. Offenbar gilt P {T ₋₁ = 1} = 1/2 sowie

P {T ₋₁ = 2m + 1} = (2m − 1)!!

(m + 1)!2 ^m+1

f¨ ur m ≥ 1. Berechnen Sie die erwartete Wartezeit bis der Irrl¨ aufer zum ersten Mal den Wert −1 erreicht.

Hinweise: Der Erwartungswert von T −1 ist ¨ uber E {T −1 } := P ∞

n=1 n · P {T −1 = n} definiert.

Aufgabe 3. Seien {U ₁ , . . . , U _n } unabh¨ angige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die gleich- verteilt auf dem Intervall [a, b] sind.

(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Z _n := max{U ₁ , . . . , U _n }.

(b) Wie groß muss n gew¨ ahlt werden, damit P (Z _n > a + 0.9 · (b − a)) gr¨ oßer als 99 Prozent ist?

Aufgabe 4. (a) Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (M _j ) j∈I sei eine unabh¨ angige Familie durchschnittsstabiler Mengen M _j ⊆ A. Weiter sei I = S

s∈S I _s eine disjunkte Zerle- gung der Indexmenge I . Man zeige, dass dann die Familie (A _s ) s∈S mit A _s = σ S

j∈I

s

M _j unabh¨ angig ist.

(b) Es seien (X _n ) n∈ N unabh¨ angige reelle Zufallsvariablen. Man zeige, dass dann auch (Y _n ) n∈ N

mit Y n = X 2n − X 2n−1 unabh¨ angig sind.

Beachten Sie:

Pr¨ ufungswoche 2. bis 6. August.

Raum¨ anderung Am 22.06.2010 findet die Vorlesung um 13:45 Uhr im Raum 2/N001 statt.

Aufgabe 1. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgr¨ oßen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie:

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 9

Abgabe bis 14. Juni 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgr¨ oßen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie:

(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sind X und Y unabh¨ angig.

(b) Sind X und Y unabh¨ angig, so gilt f¨ ur jedes A ∈ σ(X) ∩ σ(Y )

P (A) = 0 oder P (A) = 1.

(c) Sei Y nichtnegativ. Y ist genau dann σ(X)-messbar, wenn es eine Borel-messbare Funktion g : R → [0, ∞] gibt mit Y = g ◦ X.

Hinweis: F¨ ur Teil (c) k¨ onnte ein Approximationssatz aus der Maßtheorie n¨ utzlich sein.

Aufgabe 2. Es bezeichne T −1 die Wartezeit, zu der die unbegrenzt lange laufende symmetri- sche Irrfahrt zum ersten Mal den Wert −1 erreicht. T −1 nimmt also seine Werte in der Menge {1, 3, 5, . . . , ∞} an. Offenbar gilt P {T −1 = 1} = 1/2 sowie

P {T −1 = 2m + 1} = (2m − 1)!!

(m + 1)!2 m+1

f¨ ur m ≥ 1. Berechnen Sie die erwartete Wartezeit bis der Irrl¨ aufer zum ersten Mal den Wert −1 erreicht.

Hinweise: Der Erwartungswert von T −1 ist ¨ uber E {T −1 } := P ∞

n=1 n · P {T −1 = n} definiert.

Aufgabe 3. Seien {U 1 , . . . , U n } unabh¨ angige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die gleich- verteilt auf dem Intervall [a, b] sind.

(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Z n := max{U 1 , . . . , U n }.

(b) Wie groß muss n gew¨ ahlt werden, damit P (Z n > a + 0.9 · (b − a)) gr¨ oßer als 99 Prozent ist?

Aufgabe 4. (a) Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (M j ) j∈I sei eine unabh¨ angige Familie durchschnittsstabiler Mengen M j ⊆ A. Weiter sei I = S

s∈S I s eine disjunkte Zerle- gung der Indexmenge I . Man zeige, dass dann die Familie (A s ) s∈S mit A s = σ S

j∈I

M j unabh¨ angig ist.

(b) Es seien (X n ) n∈ N unabh¨ angige reelle Zufallsvariablen. Man zeige, dass dann auch (Y n ) n∈ N

mit Y n = X 2n − X 2n−1 unabh¨ angig sind.

Beachten Sie:

Pr¨ ufungswoche 2. bis 6. August.

Raum¨ anderung Am 22.06.2010 findet die Vorlesung um 13:45 Uhr im Raum 2/N001 statt.

Aufgabe 2. Es bezeichne T −1 die Wartezeit, zu der die unbegrenzt lange laufende symmetri- sche Irrfahrt zum ersten Mal den Wert −1 erreicht. T −1 nimmt also seine Werte in der Menge {1, 3, 5, . . . , ∞} an. Offenbar gilt P {T ₋₁ = 1} = 1/2 sowie

P {T ₋₁ = 2m + 1} = (2m − 1)!!

(m + 1)!2 ^m+1

Aufgabe 3. Seien {U ₁ , . . . , U _n } unabh¨ angige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die gleich- verteilt auf dem Intervall [a, b] sind.

(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Z _n := max{U ₁ , . . . , U _n }.

(b) Wie groß muss n gew¨ ahlt werden, damit P (Z _n > a + 0.9 · (b − a)) gr¨ oßer als 99 Prozent ist?

Aufgabe 4. (a) Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (M _j ) j∈I sei eine unabh¨ angige Familie durchschnittsstabiler Mengen M _j ⊆ A. Weiter sei I = S

s∈S I _s eine disjunkte Zerle- gung der Indexmenge I . Man zeige, dass dann die Familie (A _s ) s∈S mit A _s = σ S

M _j unabh¨ angig ist.

(b) Es seien (X _n ) n∈ N unabh¨ angige reelle Zufallsvariablen. Man zeige, dass dann auch (Y _n ) n∈ N