Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und T : Ω → Ω eine messbare Abbildung. Man nennt T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), falls für alle A ∈ A gilt P (T

Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Übungsblatt 3

Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und T : Ω → Ω eine messbare Abbildung. Man nennt T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), falls für alle A ∈ A gilt P (T

⁻¹

(A)) = P (A).

Sei T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und A ∈ A. Zeigen Sie, dass P -fast alle ω ∈ A rekurrent sind, das heißt, für P -fast alle ω ∈ A existiert ein n ∈ N , so dass T

ⁿ

(ω) ∈ A.

Lösung zu Aufgabe 1: (Poincaréscher Wiederkehrsatz) poincare.tex Sei A ∈ A. Die Menge der ω ∈ A, die nicht rekurrent sind, ist

N :=

∞

\

n=1

A \ T

⁻ⁿ

(A) = A \

∞

[

n=1

T

⁻ⁿ

(A).

Nach Konstruktion ist für alle n ∈ N

N ∩ T

⁻ⁿ

(N ) ⊆ N ∩ T

⁻ⁿ

(A) = ∅.

Nun gilt aber für alle m, n ∈ N mit m < n

T

^−m

(N ) ∩ T

⁻ⁿ

(N ) = T

^−m

(N ∩ T

^m−n

(N )) = T

^−m

(∅) = ∅.

Also sind die Urbilder von N unter T disjunkt. Es folgt P

[

^∞

n=0

T

⁻ⁿ

(N) =

∞

X

n=0

P (T

⁻ⁿ

(N )) =

∞

X

n=0

P (N ), und weil P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, muss P (N ) = 0 gelten.

Aufgabe 2. Für i ∈ N sei Ω

_i

abzählbar und Ω = ^Q

_i∈

N

Ω

_i

. Sei X

_i

: Ω → Ω

_i

, X

_i

: (ω) = ω

_i

die Projektion auf die i-te Koordinate. Sei

G := {Z(a

₁

, . . . , a

n

) | n ≥ 1, a

i

∈ Ω

_i

} ∪ {∅}

und

Z(a

₁

, . . . , a

_n

) := {ω ∈ Ω | X

₁

= a

₁

, . . . , X

_n

= a

_n

}.

Zeigen Sie, dass G ist durchschnittsstabil ist und die Produkt-σ-Algebra ^N

_i∈N

P (Ω

_i

) erzeugt.

Lösung zu Aufgabe 2: (Produkt-σ-Algebra ∩-stabil erzeugen) produktsigma.tex Das Mengensystem G ist durchschnittsstabil: Wir zeigen A ∩ B ∈ G für A, B ∈ G. Ist eine der beiden Mengen leer, so ist die Aussage klar. Seien also A = Z (a

₁

, . . . , a

_n

) und B = Z (b

₁

, . . . , b

_k

), o. B. d. A.

sei n ≤ k. Dann ist

A ∩ B =

( ∅, falls ∃ i ∈ {1, . . . , n} : a

_i

6= b

_i

, Z (b

1

, . . . , b

k

) , falls a

i

= b

i

∀ i ∈ {1, . . . , n} , also ist G durchschnittsstabil.

Sei H := ⁿ X

_i⁻¹

(A

_i

) : i ∈ N , A

_i

∈ P (Ω

_i

) ^o ⊆ P(Ω). Zu zeigen:

σ (G) = ^O

i∈N

P (Ω

_i

) := σ (H)

Beweis. Sei G ∈ G. Ist G = ∅, so ist offenbar G in der σ-Algebra ^N

_i∈N

P (Ω

_i

) enthalten. Sei also G = Z (a

₁

, . . . , a

_n

). Dann ist nach Definition

G = Z (a

1

, . . . , a

n

) =

n

\

i=1

{X

_i

= a

i

} =

n

\

i=1

X

_i⁻¹

({a

_i

}) , also G ⊂ σ (H), mithin σ (G) ⊂ σ (σ (H)) = σ (H).

Sei umgekehrt H := X

_i⁻¹

(A

_i

) ∈ H mit einem i ∈ N und einem A

_i

⊂ Ω

_i

. Nun gilt H = X

_i⁻¹

(A

i

) = ^[

(a1,...,ai−1)∈Ω1×...×Ωi−1

[

ai∈Ai

Z (a

1

, . . . , a

i

) , also H ⊂ σ (G), mithin σ (H) ⊂ σ (σ (G)) = σ (G).

Aufgabe 3. Wir betrachten eine Zufallsvariable U : (Ω, A, P ) → (0, 1), die uniform verteilt auf (0, 1) ist. Für jedes ω ∈ Ω definieren wir

X(ω) := − 1

λ ln(1 − U (ω)).

(a) Zeigen Sie, dass X eine Zufallsvariable ist.

(b) Bestimmen Sie die Verteilung von X.

Lösung zu Aufgabe 3: (Quantiltransformation) quantil.tex (a) Die Funktion (0, 1) 3 x 7→ −

_λ¹

ln(1 − x) ist stetig, also messbar. Die Verkettung mit U bleibt

messbar.

(b) Die Verteilungsfunktion ist

F

_X

(c) = P (X ≤ c) = P (U ≤ 1 − e

^−λc

) = 1 − e

^−λc

. Also ist X exponentialverteilt mit Parameter λ.

Aufgabe 4. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → ([0, ∞], B([0, ∞])) eine Zufallsva- riable. Zeigen Sie:

(a) Die Abbildung φ : Ω × R → R

φ(ω, t) =

( 1 falls X(ω) > t, 0 sonst

ist A ⊗ B( R ) − B( R )-messbar.

(b) Die Abbildung F : R → [0, 1], F (t) = P (X > t) ist B( R ) − B([0, 1])-messbar.

(c) Zeigen Sie

E {X} :=

Z

Ω

X(ω) d P (ω) = Z

∞

0

P (X > t) dt = Z

∞

0

(1 − F

_X

(t)) dt.

Lösung zu Aufgabe 4: (Layer Cake) layercake.tex

Weil X nichtnegativ ist, lässt sich X als Grenzwert einer monoton wachsenden Folge (ψ

n

)

_n∈

N

von messbaren Treppenfunktionen darstellen.

2

(a) Die Funktion φ nimmt nur die Werte 0 und 1 an. Es genügt, die Messbarkeit von φ

⁻¹

({1}) zu zeigen:

Sei B ∈ B ( R ). Für 0, 1 ∈ B ist φ

⁻¹

(B) = Ω × R messbar, ebenso für 0, 1 ∈ / B, woraus φ

⁻¹

(B) = ∅ folgt. Für 1 ∈ B, 0 ∈ / B ist φ

⁻¹

(B ) = φ

⁻¹

({1}), und für 0 ∈ B, 1 ∈ / B ist φ

⁻¹

(B ) = φ

⁻¹

({1})

^{

, dessen Messbarkeit aus der Messbarkeit von φ

⁻¹

({1}) folgt.

Es ist

φ

⁻¹

({1}) = ⁿ (ω, t) ∈ Ω × R : X (ω) > t ^o = ⁿ (ω, t) ∈ Ω × R : ∃ n ∈ N : ψ

n

(ω) > t ^o

= ^[

n∈N

n (ω, t) ∈ Ω × R : ψ

n

(ω) > t ^o ,

und da ψ

_n

nur endlich viele Funktionswerte y

₁

, . . . , y

_m

annimmt, ist φ

⁻¹

({1}) = ^[

n∈N m

[

k=1

ψ

_n⁻¹

({y

_k

}) × [−∞, y

_k

) messbar.

(b) Die Funktion ¯ F ist monoton fallend, und die Messbarkeit folgt sofort aus der Aufgabe 2 der 7.

Hausaufgabe.

(c) Für die zweite Gleichheit bemerken wir, dass {X > t} = {X ≤ t}

^{

ist und daher P ({X > t}) = 1 − P ({X ≤ t}) = 1 − F

X

(t)

gilt. Die erste Gleichheit zeigen wir mit maßtheoretischer Induktion.

1. Fall. Wir betrachten zunächst eine Funktion X, die nur endlich viele Werte 0 = c

₀

< c

₁

< . . . <

c

n

annimmt. Dann lässt sich X als

X = c

1

· 1

{X≥c₁}

+ (c

2

− c

1

) · 1

{X≥c₂}

+ . . . + (c

n

− c

n−1

) · 1

{X≥c_n}

=

n

X

k=1

(c

k

− c

k−1

) · 1

{X≥c_k}

darstellen. Demzufolge gilt Z

Ω

X (ω) d P (ω) =

n

X

k=1

(c

_k

− c

k−1

) P ({X ≥ c

_k

}) , aber andererseits auch

Z

∞

0

P ({X > t}) dt = Z

∞

cn

P ({X > t}) dt

| {z }

=0

+

n

X

k=1

Z

ck

ck−1

P ({X ≥ t}) dt

=

n

X

k=1

Z

ck

ck−1

P (X ≥ c

k

) dt =

n

X

k=1

(c

k

− c

k−1

) · P ({X ≥ c

k

}) was die gewünschte Gleichheit beweist.

2. Fall. Wir betrachten nun eine allgemeine messbare Funktion X : Ω → [0, ∞].

Z

Ω

X (ω) d P (ω) = Z

Ω

lim

n→∞

ψ

_n

(ω) d P (ω)

Beppo Levi

= lim

n→∞

Z

Ω

ψ

_n

(ω) d P (ω)

1. Fall

= lim

n→∞

Z

∞

0

P ({ψ

_n

> t}) dt

Beppo Levi

=

Z

∞ 0

n→∞

lim P ({ψ

_n

> t}) dt

Stetigkeit von unten

=

Z

∞

0

P ({X > t}) dt.

3

Für die letzte Gleichheit muss noch die Beziehung ^S

_n∈

N

{ψ

_n

> t} = {X > t} bewiesen werden. Sei dazu ω ∈ Ω. Existiert nun ein n ∈ N mit ψ

_n

(ω) > t (d. h. ω gehört zur linken Menge), so ist sicher X (ω) ≥ ψ

_n

(ω) > t, denn die Folge (ψ

_n

)

_n∈

N

konvergiert punktweise monoton wachsend gegen X, d. h. ω gehört zur rechten Menge.

Ist umgekehrt X (ω) > t, d. h. ω gehört zur rechten Menge, so muss es wegen der monotonen Konvergenz der Folge (ψ

n

)

_n∈

N

auch ein n ∈ N geben, so dass ψ

n

(ω) > t ist, ansonsten wäre der Grenzwert der Folge (ψ

n

(ω))

_n∈N

nämlich kleiner oder gleich t. Damit gehört ω auch zur linken Menge, und die Gleichheit ist bewiesen.

4