Aufgabe 2. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (S, P (S)) ein diskreter Messraum mit S ⊂ R ¯ und X : Ω → S eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert und die Varianz von X sind gegeben durch

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 4

zu bearbeiten bis 23.05.2019

Aufgabe 1. Sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω der Permutationen von {1, . . . , n}, n ∈ N . Für eine Permutation ω ∈ Ω bezeichne X(ω) die Anzahl der Fixpunkte. Berechnen Sie den Erwartungswert E (X) und die Varianz Var(X).

Aufgabe 2. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (S, P (S)) ein diskreter Messraum mit S ⊂ R ¯ und X : Ω → S eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert und die Varianz von X sind gegeben durch

E (X) = ^X

x∈S

x · P (X = x) und Var(X) = E

(X − E (X))

.

Berechnen Sie Erwartungwert und Varianz für X (a) Bernoulli-verteilt,

(b) binomial-verteilt, (c) geometrisch verteilt, (d) negativ binomial-verteilt, (e) Poisson-verteilt,

Aufgabe 3.

(a) Sei X = (X

, . . . , X

) ∈ L

eine R

-wertige Zufallsgröße. Zeigen Sie, dass die Kovarianz- matrix Σ(X) symmetrisch und positiv semidefinit ist.

(b) Seien X

, . . . , X

∈ L

reellwertige Zufallsvariablen. Zeigen Sie

Var

n

X

i=1

X

!

=

n

X

i=1

Var(X

) +

n

X

i,j=1

i6=j

Cov(X

, X

).

(c) Es seien X, Y und Z identisch verteilte, nicht konstante reellwertige Zufallsvariablen, für die X +Y +Z = c (fast sicher mit einer gewissen Konstanten c ∈ R ) gilt. Man zeige, dass der Korrelationskoeffizient %

= Cov(X, Y )/ ^p Var(X) Var(Y ) von X und Y gleich −1/2 ist.

Man formuliere und beweise eine verallgemeinerte Aussage für mehr als drei Summanden unter der zusätzlichen Annahme, dass die Kovarianzen je zweier verschiedener Summanden identisch sind.

(d) Wir würfeln n-mal mit einem fairen Würfel und bezeichnen mit X und Y die Anzahl der

dabei auftretenden Einsen bzw. Sechsen. Man berechne Cov(X, Y ) und %

.