Aufgabe 1. Es seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (S, P (S)) ein abzählbarer Messraum und X

Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Hausaufgabe 9

Abgabe am 9.6. oder am 11.6. in der Übung

Aufgabe 1. Es seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (S, P (S)) ein abzählbarer Messraum und X

i

: Ω → S, i = 1, . . . , N Zufallsvariablen. Weiter sei für s ∈ S und ω ∈ Ω

H

s

(ω) := ]{i ∈ {1, . . . , N} | X

i

(ω) = s}.

Zeigen Sie, dass die Abbildungen

X : (Ω, A, P ) → (S

^N

, P (S

^N

)), X(ω) := (X

₁

(ω), . . . , X

_N

(ω)) und

H : (Ω, A, P ) → ({0, . . . , N}

^S

, P ({0, . . . , N }

^S

)), H(ω) := H

_s

(ω)

_s∈S

Zufallsvariablen sind.

Lösung zu Aufgabe 1: (Histogramm) histo.tex

Die Abbildung H heißt in der Statistik Histogramm des Zufallsvektors X.

(a) Sei a = (a

1

, . . . , a

N

) ∈ S

^N

beliebig. Dann gilt {X

_i

= a

i

} ∈ A für alle i = 1, . . . , N, da X

i

messbar ist. Damit folgt

X

⁻¹

({a}) = {X

₁

= a

1

, . . . , X

N

= a

N

} =

N

\

i=1

{X

_i

= a

i

} ∈ A.

Sei nun A ∈ P(S

^N

) beliebig. Dann schreiben wir A als Vereinigung seiner Elemente und erhalten X

⁻¹

(A) = X

⁻¹

^[

a∈A

{a} = ^[

a∈A

X

⁻¹

({a}) ∈ A da letzeres eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus A ist.

(b) Wir definieren die Abbildung

h : S

^N

→ {0, . . . , N }

^S

, h(a

1

, . . . , a

N

) :=

N

X

i=1

1

_{s}

(a

i

)

s∈S

,

welche messbar ist, da S

^N

mit der Potenzmenge ausgestattet ist. Nach Definition gilt nun H = h◦X, wonach H als Verknüpfung messbarer Abbildungen messbar ist.

Aufgabe 2. Sei E eine endliche Menge, % eine Zähldichte auf E, N ∈ N und X = (X

_a

)

_a∈E

eine Zufallsvariable mit Werten in Ω = ^b {(k

_a

)

a∈E

∈ N

^E₀

| ^P

_a∈E

k

a

= N } und Multinomialverteilung M

_N,%

. Zeigen Sie: Für jedes a ∈ E hat X

a

die Binomialverteilung B

_N,%(a)

.

Lösung zu Aufgabe 2: (Projektion der Multinomialverteilung) projmulti.tex Wir haben in Aufgabe multi.tex: Multinomialkoeffizienten gesehen, dass für j = (j

e

)

_e∈E

der Multino- mialkoeffizient

N j

!

:= N ! Q

e∈E

j

_e

!

für alle a ∈ E die Gleichung

N j

!

= N

j

_a

! N − j

a

(j

_e

)

_e∈E\{a}

!

erfüllt (oder rechnen es einfach nach). Außerdem ist mit der Formel von dort über Potenzen von Summen P (X

_a

= k) = ^X

ω∈

b

^{Ω :X}a=k

M

_N,%

({ω}) = ^X

j∈N^E\{a}0

N j, k

!

%

^k_a

^Y

e∈E\{a}

%

^j_e^e

= N

k

!

%

^k_a

^X

j∈N^E\{a}0

N − k j

! Y

e∈E\{a}

%

^j_e^e

= N

k

!

%

^k_a

^X

e∈E\{a}

%

_e

^N

−k

= N

k

!

%

^k_a

1 − %

_a

^N−k

für alle k ∈ {0, . . . , N}. Das bedeutet genau, dass X

_a

binomialverteilt mit Parametern N und %

_a

ist.

Aufgabe 3. Es sei (X

n

)

_n∈N

eine Folge unabhängiger, reellwertiger Zufallsvariablen auf einem Wahr- scheinlichkeitsraum ( R , B( R ), P ). Jedes X

_n

besitze eine Dichte f

_n

. Ferner sei N : R → N eine Zufallsva- riable, die von (X

_n

)

_n∈N

unabhängig ist. Zeigen Sie:

(a) Die zufällige Summe

S(ω) :=

N(ω)

X

n=1

X

n

(ω) ist eine Zufallsvariable.

(b) Die Funktion ^P

^∞_n=1

P ({N = n}) · (f

₁

∗ . . . ∗ f

_n

) ist eine Dichte von S.

Hinweise: Sei X eine Zufallsvariable auf ( R, B( R ), P ). Eine Funktion f

X

: R → [0, ∞) heißt Wahr- scheinlichkeitsdichte von X (bezüglich des Lebesgue-Maßes), falls für alle A ∈ B( R ) gilt

P ({X ∈ A}) = Z

A

f

X

(t)dt.

Es könnte hilfreich sein, für k ∈ N die Zufallsvariable S

_k

(ω) = ^P

^k_n=1

X

n

(ω) zu definieren.

Lösung zu Aufgabe 3: (Zufällige Summe) zufsum.tex

(a) Sei A ∈ B ( R ). Wir haben S

⁻¹

(A) = ^[

k∈N

N

⁻¹

({k}) ∩ S

⁻¹

(A) = ^[

k∈N

N

⁻¹

({k}) ∩ S

_k⁻¹

(A)

Die Funktion S

_k

:= ^P

^k_n=1

X

_n

ist als endliche Summe messbarer Funktionen messbar, ebenso N . Daher sind S

_n⁻¹

(A) und N

⁻¹

({k}) messbare Mengen. Die Menge S

⁻¹

(A) ist daher die abzählba- re Vereinigung von endlichen Durchschnitten messbarer Mengen und damit selbst messbar. Das beweist die Messbarkeit von S.

(b) Sei A ∈ B ( R ). Wir haben P (S ∈ A) = P

[

n∈N

S ∈ A, N = n = ^X

n∈N

P (S ∈ A, N = n)

= ^X

n∈N

P (S

n

∈ A, N = n) = ^X

n∈N

P (S

n

∈ A) · P (N = n) ,

2

weil N von den X

k

, also auch von S

n

:= ^P

ⁿ_k=1

X

k

, unabhängig ist. Wir wissen aus der Vorlesung, dass f

₁

∗ . . . ∗ f

_n

eine Dichte von S

_n

ist. Daher gilt

P (S ∈ A) = ^X

n∈N

P (N = n) · Z

A

(f

₁

∗ . . . ∗ f

_n

) (t) dt

= lim

N→∞

Z

A N

X

n=1

P (N = n) · (f

1

∗ . . . ∗ f

n

) (t) dt

= Z

A N→∞

lim

N

X

n=1

P (N = n) · (f

1

∗ . . . ∗ f

n

) (t) dt

= Z

A

∞

X

n=1

P (N = n) · (f

₁

∗ . . . ∗ f

_n

) (t) dt,

wobei wir den Satz von Beppo Levi angewandt haben, um Integral und Grenzwertbildung zu ver- tauschen (die Summen bestehen nur aus nichtnegativen Summanden, die Partialsummenfolge ist daher monoton). Dies zeigt das Verlangte.

Aufgabe 4.

(a) Seien X

1

, . . . , X

n

unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen be- züglich des Lebesgue-Maßes auf R :

P ({X

_i

∈ B }) = Z

B

f

_Xi

(t)dt, B ∈ B( R ).

Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X

1

, . . . , X

n

ist absolutstetig bezüglich des Lebesguema- ßes auf R

ⁿ

mit Dichte

f (t

₁

, . . . , t

_n

) =

n

Y

i=1

f

_Xi

(t

_i

).

(b) Umgekehrt seien X

₁

, . . . , X

n

reellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absoluts- tetig mit einer Dichte in Produktform ist:

f (t

₁

, . . . , t

_n

) =

n

Y

i=1

f

_i

(t

_i

), f

_i

: R → [0, ∞) messbar.

Zeigen Sie: X

1

, . . . , X

n

sind unabhängig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten f

_Xi

= f

_i

R

R

f

i

(t)dt , 1 ≤ i ≤ n.

Lösung zu Aufgabe 4: (Unabhängigkeit und Produktdichte) unabhprod.tex (a) Seien B

1

, . . . , B

n

∈ B ( R ). Dann ist wegen des Satzes von Fubini

P (X

1

∈ B

1

, . . . , X

n

∈ B

n

) = P (X

1

∈ B

1

) · . . . · P (X

n

∈ B

n

)

= Z

B1

f

_X1

(t

₁

) dt

₁

· . . . · Z

Bn

f

_Xn

(t

_n

) dt

_n

= Z

B1

· · · Z

Bn

f

_X1

(t

₁

) · . . . · f

_Xn

(t

_n

) dt

_n

· · · dt

₁

= Z

R

· · · Z

R

1

B1×...×Bn

(t

₁

, . . . , t

_n

) ·

n

Y

i=1

f

_Xi

(t

_i

) dt

_n

· · · dt

₁

= Z

Rⁿ

1

B1×...×B_n

(t

₁

, . . . , t

_n

) ·

n

Y

i=1

f

_Xi

(t

_i

) d (t

₁

, . . . , t

_n

)

= Z

B1×...×Bn

f (t

1

, . . . , t

n

) d (t

1

, . . . , t

n

) ,

3

also ist f eine Dichte der gemeinsamen Verteilung auf dem Semiring {B

₁

× . . . × B

_n

: B

₁

, . . . , B

_n

∈ B ( R )} .

Nach dem Eindeutigkeitssatz ist f eine Dichte des Produktmaßes µ

_(X1,...,Xn)

auf R

ⁿ

, der gemeinsa- men Verteilung von X

1

, . . . , X

n

.

(b) Weil f eine Dichte ist, gilt 1 =

Z

Rⁿ n

Y

i=1

f

i

(t

i

) d (t

1

, . . . , t

n

) = Z

R

· · · Z

R n

Y

i=1

f

i

(t

i

) dt

1

· · · dt

n

= Z

R

f

_n

(t

_n

) Z

R

f

n−1

(t

n−1

) · · · Z

R

f

₁

(t

₁

) dt

₁

· · · dt

_n

=

n

Y

i=1

Z

R

f

_i

(t

_i

) dt

_i

. (*)

Sei i = n. Die anderen Fälle folgen aus Symmetriegründen. Wir haben P (X

_n

∈ B

_n

) = P (X

₁

∈ R , . . . , X

n−1

∈ R , X

_n

∈ B

_n

)

= Z

R×...×R×B_n n

Y

i=1

f

i

(t

i

) d (t

1

, . . . , t

n

)

= Z

Bn

Z

R

· · · Z

R n

Y

i=1

f

_i

(t

_i

) dt

₁

· · · dt

n−1

dt

_n

= Z

Bn

f

n

(t

n

) Z

R

f

n−1

(t

n−1

) · · · Z

R

f

1

(t

1

) dt

1

· · · dt

n−1

dt

n

= Z

Bn

f

n

(t

n

) dt

n

·

n−1

Y

i=1

Z

R

f

i

(t

i

) dt

i (*)

=

Z

Bn

f

_n

(t

_n

) dt

_n

· Q

n−1

i=1

R

R

f

i

(t

i

) dt

i

Q

_n

i=1

R

R

f

_i

(t

_i

) dt

_i

= R

Bn

f

_n

(t

_n

) dt

_n

R

R

f

_n

(t

_n

) dt

_n

, woraus sofort die Behauptung über die Dichten der X

_i

folgt.

Seien B

₁

, . . . , B

n

∈ B ( R ). Dann ist P (X

1

∈ B

1

, . . . , X

n

∈ B

n

) =

Z

B1×...×B_n

f (t

1

, . . . , t

n

) d (t

1

, . . . , t

n

)

= Z

B1×...×B_n n

Y

i=1

f

i

(t

i

) d (t

1

, . . . , t

n

)

obenwie

=

(Fubini) n

Y

i=1

Z

Bi

f

i

(t

i

) dt

i

= Q

n

i=1

R

Bi

f

i

(t

i

) dt

i

Q

n i=1

R

R

f

_i

(t

_i

) dt

_i

=

n

Y

i=1

R

Bi

f

_i

(t

_i

) dt

_i

R

R

f

_i

(t

_i

) dt

_i

=

n

Y

i=1

P (X

_i

∈ B

_i

) , also sind die Zufallsvariablen X

₁

, . . . , X

_n

unabhängig.

4