Aufgabe 1. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 10

Abgabe bis 21. Juni 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A

, . . . , A

∈ A. Zeigen Sie

1

= 1 −

n

Y

i=1

(1 − 1

),

und folgern Sie daraus

P n [

i=1

A

o

=

n

X

k=1

(−1)

X

1≤i1<...<ik≤n

P {A

∩ . . . ∩ A

}.

Aufgabe 2. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → ([0, ∞], B([0, ∞])) eine Zufallsvariable. Zeigen Sie:

(a) Die Abbildung φ : Ω × R → R,

φ(ω, t) =

( 1 falls X(ω) > t, 0 sonst

ist A ⊗ B( R ) − B( R )-messbar.

(b) Die Abbildung F : R → [0, 1], F (t) = P (X > t) ist B( R ) − B([0, 1])-messbar.

(c) Zeigen Sie ohne den Satz von Fubini zu benutzen E {X} :=

Z

Ω

X(ω)dP(ω) = Z

0

P(X > t)dt = Z

0

(1 − F

(t))dt.

Aufgabe 3. Eine stetige Zufallsvariable X mit nichtnegativen (reellen) Werten heißt exponen- tialverteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn sie die Dichte

f (x) =

( λe

f¨ ur x ≥ 0,

0 sonst

besitzt. Sei X exponentialverteilt mit dem Parameter λ.

(a) Bestimmen Sie die Verteilungfunktion von X

(b) Zeigen Sie, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable X ”ged¨ achtnislos” ist, d. h. dass f¨ ur alle positiven Zahlen s und t gilt

P (X > s + t|X > s) = P (X > t).

(c) Seien X

, . . . , X

unabh¨ angige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die einer Exponential- verteilung mit Parameter λ folgen. Zeigen Sie: m

= min{X

, . . . , X

} ist exponentialverteilt mit dem Parameter nλ.

Aufgabe 4. Seien F, F

: R → [0, 1], n ∈ N, Verteilungsfunktionen, F stetig und es gelte

n→∞

lim F

(x) = F (x) f¨ ur alle x ∈ R ,

Zeigen Sie, dass dann (F

)

gleichm¨ aßig gegen F konvergiert. Beweisen oder widerlegen Sie

diese Aussage ohne die Voraussetzung an die Stetigkeit von F .