Aufgabe 1. Seien A

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 2

Abgabe bis 29. April 07:30

Aufgabe 1. Seien A

, . . . A

∈ A unabh¨ angige Ereignisse. Zeigen Sie, dass A

und A

unabh¨ angig sind; A

und A

unabh¨ angig sind.

F¨ ur den Rest der Aufgabe darf man annehmen, dass sogar f¨ ur beliebige disjunkte Teilmengen I, J ⊂ {1, . . . , n}

P

\

i∈I

A

∩

\

j∈J

A

!

= Y

i∈I

P (A

) Y

j∈J

P (A

)

gilt.

Fluggesellschaften stellen fest, dass ein Passagier, der einen Platz reserviert hat, mit Wahrscheinlichkeit 1/10 nicht kommt. Daher verkauft Air Chemnitz immer 100 Tickets f¨ ur ein Flugzeug mit 95 Pl¨ atzen. Berechnen Sie die ¨ Uberbuchungswahrscheinlichkeit p unter der Annahme, dass die einzelnen Passagiere unabh¨ angig voneinander kommen oder wegbleiben. Sch¨ atzen Sie den Fehler ab, der sich ergibt, falls man f¨ ur die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit die Poissonapproximation ansetzt.

Hinweis: Ereignisse A

, . . . A

∈ A heißen unabh¨ angig, falls

P

\

i∈I

A

= Y

i∈I

P (A

).

f¨ ur alle Teilmengen I ⊂ {1, . . . , n} gilt.

Aufgabe 2. In einer Urne befinden sich N Kugeln, davon K rote. Wir ziehen n Ku- geln ohne Zur¨ ucklegen, wobei n ≤ min(K, N − K). Beschreibe dieses Modell durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Sei k ∈ {0, 1, . . . , n}. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln in einer Stichprobe zu haben genau

p(k) = K

k

N − K n − k

N n

ist. Diese Gewichte definieren die hypergeometrische Verteilung mit Parametern N , K und n. Zeigen Sie, dass die hypergeometrische Verteilung f¨ ur N → ∞ und K → ∞ mit p = K/N konstant, gegen die Binomialverteilung mit Parametern n und p konvergiert.

Bitte wenden!

Aufgabe 3. (a) Ein messbarer Raum (Ω, A) mit einem Maß µ : A → [0, ∞] heißt Maßraum. Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und N := {N ∈ A | µ(N) = 0} die Familie der µ-Nullmengen. Zeigen Sie

(i) ∅ ∈ N ,

(ii) N ∈ N , A ∈ A, A ⊂ N ⇒ A ∈ N , (iii) ∀ i ∈ N : N

∈ N ⇒ ∪

N

∈ N .

(b) Seien a, b ∈ R gegeben. Geben Sie alle Nullmengen des Diracmaßes δ

+ δ

auf dem messbaren Raum ( R , B( R )) an.

Aufgabe 4. Die Regierungschefs der vier skandinavischen L¨ ander D¨ anemark, Schweden, Norwegen und Finnland wollen sich zum Abschluss eines Gipfeltreffens zusammen mit ihren Außenministern in eine Reihe zum Familienfoto aufstellen. Angenommen, die Anordnung erfolgt rein zuf¨ allig,

(a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Außenminister neben seinem Chef steht?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Außenminister neben seinem Chef steht?

Hinweis: Nutzen Sie die Formel von Poincar´ e-Sylvester ( ¨ Ubungsblatt 2).