Aufgabe 1. Seien r ∈ N und p ∈ (0, 1) gegeben. Beweisen Sie, dass durch P {k} =

Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 2

Abgabe am 22./24. April in der Übung

Aufgabe 1. Seien r ∈ N und p ∈ (0, 1) gegeben. Beweisen Sie, dass durch P {k} =

k + r − 1 k

p

(1 − p)

, k ∈ N

, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert ist.

Aufgabe 2. Eine Urne enthält zur Zeit n = 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt n = 1, 2, 3, . . . wird eine zufällig ausgewählte Kugel entnommen, und zusammen mit einer neuen Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. Sei R

die Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

p

:= P (R

= r) (n ≥ 0, 1 ≤ r ≤ n + 1 ) a) für n = 1, 2 und 3, b) allgemein.

Aufgabe 3. Die Regierungschefs der vier skandinavischen Länder Dänemark, Schweden, Norwegen und Finnland wollen sich zum Abschluß eines Gipfeltreffens zusammen mit ihren Außenministern in eine Reihe zum Gruppenfoto aufstellen. Angenommen, die Anordnung erfolgt rein zufällig,

(a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Außenminister neben seinem Chef steht?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß kein Außenminister neben seinem Chef steht?

Aufgabe 4. Sei Ω = {0, 1}

(Menge aller Folgen der Zahlen 0 und 1) und A eine σ-Algebra über Ω, die die Mengen A

= {ω = (ω

, ω

, . . . ) ∈ Ω | ω

= 1}, j ∈ N , enthält.

Beweisen Sie

n

ω = (ω

, ω

, . . . ) ∈ Ω

∞

X

j=1

ω

< ∞ o

∈ A.