Aufgabe 1 (Negative Binomialverteilung). Seien r ∈ N und p ∈ (0, 1) gegeben. Beweisen Sie, dass durch

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Ubungsblatt 3 ¨

Aufgabe 1 (Negative Binomialverteilung). Seien r ∈ N und p ∈ (0, 1) gegeben. Beweisen Sie, dass durch

P ({k}) =

k + r − 1 k

p

(1 − p)

(k ∈ N ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert ist.

Aufgabe 2 (Axiome W-Raum). Sei Ω eine ¨ uberabz¨ ahlbare Menge und F = {A ⊂ Ω | A h¨ ochstens abz¨ ahlbar oder A

h¨ ochstens abz¨ ahlbar}. F¨ ur A ∈ F sei

P (A) =

( 0 A h¨ ochstens abz¨ ahlbar, 1 A

h¨ ochstens abz¨ ahlbar.

Zeige, dass F eine σ-Algebra ¨ uber Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf F ist.

Aufgabe 3. Ein Mann hat sich k Euro f¨ ur einen Jaguar gespart, der N Euro kostet (0 < k < N ). Um den fehlenden Betrag zu gewinnen, l¨ asst er sich auf folgendes Spiel ein: Er wirft wiederholt eine faire M¨ unze. Erscheint Kopf, dann erh¨ alt er einen Euro, kommt hingegen Zahl, so zahlt er einen Euro an die Bank. Er spielt so lange, bis eine der folgenden zwei M¨ oglichkeiten eintritt: Entweder er verliert das ganze Geld, oder er gewinnt genug, um sich den Jaguar leisten zu k¨ onnen. Sei A das Ereignis, dass der Mann alles verliert, und p

= P

(A) die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur zum Startwert k. Zeigen Sie

p

= 1

2 (p

+ p

), 0 < k < N,

und l¨ osen Sie diese Differenzengleichung zu den Randbedingungen p

= 1 und p

= 0.

Aufgabe 4. Eine Urne enth¨ alt zur Zeit n = 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt n = 1, 2, 3, . . . wird eine zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Kugel entnommen, und zusammen mit einer neuen Kugel derselben Farbe in die Urne zur¨ uckgelegt. Sei R

die Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

p

:= P (R

= r) (n ≥ 0, 1 ≤ r ≤ n + 1 )

a) f¨ ur n = 1, 2 und 3, b) allgemein.