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Ubungen und Selbststudium in Mathematik¨ 3 B2 Spezial 1 3
Thema: Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren
Probl. 1 Gegeben sind die MatrizenD=
1 0 0 2
und M =
2 −1 3 2
. (a) Konstruktion der MatrixMT:
Berechne damit die MatrixR=MT ·D·(MT)−1.
(b) Berechne mit HIlfe der obigen Faktorisierung von Rauf einfache WeiseR10.
(c) Berechne vonRden Rang, den Kern, die Determinante, das charakteristische Poly- nom und die Spur (Spur = Summe der Diagonalelemente). Berechne auch die Spur vonD.
(d) Berechne auf einfache Weise die Inverse vonR.
(e) Berechne das Eigensystem (Eigenwerte und Eigenvektoren) von R. Vergleiche die Werte mit den eingangs gegebenen Daten. Was sieht man?
(f ) Bilde mitRdie Vektoren ~e1 = 1
0
, ~e2 = 0
1
ab. Was sind die Bilder?
(g) Bilde mitR−1 die Vektoren ~e1 = 1
0
, ~e2 = 0
1
ab. Was sind die Bilder?
(h) Bilde mitRden Vektor~x= x1
x2
ab. Was ist das Bild?
(i) Bilde mitRsowie auch mitR−1 die Eigenvektoren ab. Was sind die Bilder?
(j) W¨ahle als Basis die Eigenvektoren von R. Stelle den Vektor ~x in dieser Basis dar.
~
x=k1~v1+k2~v2. Was ist das Bild?
Probl. 2 Gegeben sind die MatrizenD=
1 0 0 0 2 0 0 0 2
undM =
2 −1 0
3 2 0
0 2 4
.
L¨ose dieselben Detailaufgaben wie oben.
Probl. 3 Gegeben sind die MatrizenD=
1 0 0 0 2 0 0 0 0
undM =
2 −1 0
3 2 0
0 2 4
.
L¨ose dieselben Detailaufgaben wie oben.
WIR1
