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Analysis II Proseminar WS 2012 Endklausur 1.2.2013
(1) (a) Sei M das Fl¨ achenst¨ uck, das durch die Parametrisierung (u, v) 7→ (u, v,
u33) ∈ R
3auf der Definitionsmenge (u, v) ∈ (0, 1) × (0, π) gegeben ist. Bestimmen sie R
M
4x
3sin y dS.
(b) Finden sie eine regul¨ are Parametrisierung der implizit definierten Fl¨ ache M = {(x, y, z)
t∈ R
3: x
2+ y
2− z
2= 1}
in einer Umgebung des Punktes (1, 0, 0)
tund weisen sie die Regularit¨ at nach.
(2) Betrachten sie das Polynom P (t) = a
0+ a
1t + · · · + a
nt
nmit a
i∈ R f¨ ur i = 1, . . . , n. Nehmen sie an, dass t
0∈ R eine Nullstelle des Polynoms ist mit P
0(t
0) 6= 0. Wenden sie den Hauptsatz
¨
uber implizite Funktionen auf die Abbildung
Q : R
n+1× R → R mit Q(b
0, b
1, . . . , b
n, t) = b
0+ b
1t + · · · + b
nt
nim Punkt (a, t
0) = (a
0, . . . , a
n, t
0) an, um zu beweisen, dass eine stetig differenzierbare Funk- tion w : U → R auf einer Umgebung U von a in R
n+1existiert so dass f¨ ur s = w(b
0, b
1, . . . , b
n) gilt b
0+ b
1s + · · · b
ns
n= 0. Zeigen sie weiters, dass
∇w(a) = − 1
P
0(t
0) (1, t
0, t
20, . . . , t
n0) gilt.
(3) Beweisen sie: Der offene Einheitsw¨ urfel E = (0, 1)
nin R
nist eine abz¨ ahlbare Vereinigung abgeschlossener Kugeln B(x
k, r
k)
k∈N
mit geeigneten Mittelpunkten x
k∈ R
nund Radien r
k> 0.
(4) Gegeben ist die Menge
T
n= {x = (x
1, x
2, . . . , x
n)
t∈ R
n: 0 ≤ x
1≤ x
2≤ · · · ≤ x
n≤ 1} ⊂ R
n. Wenden sie den Satz von Fubini an, um eine Zahl c
n≥ 0 zu finden so dass
vol
n(T
n) = c
nvol
n−1(T
n−1)
gilt. Hinweis: der Schnitt (T
n)
xnist eine skalierte Version von T
n−1. Finden sie eine geschlossene Formel f¨ ur vol
n(T
n) und beweisen sie diese durch vollst¨ andige Induktion.
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