Aufgabe 1. Bestimmen Sie f¨ ur ∈ R \ {0} die Eigenwerte λ

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Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Ira Neitzel

Fabian Hoppe

Ubungsblatt 8. ¨ Abgabe am 6. Dezember vor der Vorlesung.

Aufgabe 1. Bestimmen Sie f¨ ur ∈ R \ {0} die Eigenwerte λ

_{i ,}

und die Eigenvektoren v

_{i ,}

(i = 1, 2) der Matrix

A =

1 + cos

¹

− sin

¹

− sin

¹

1 − cos

¹

. Wie verhalten sich A , λ

i ,

und v

i ,

f¨ ur → 0?

(5 Punkte)

Aufgabe 2. Sei k · k eine beliebige Norm des R

^n×n

. (k · k muss nicht notwendigerweise eine Operatornorm sein.) Zeigen Sie, dass f¨ ur jede diagonalisierbare Matrix A ∈ R

^n×n

gilt:

n→∞

lim kA

ⁿ

k

¹ⁿ

= ρ(A).

Hierbei bezeichnet ρ(A) den Spektralradius von A, d.h. ρ(A) := sup{|λ| : λ ist Eigenwert von A}.

(5 Punkte)

Aufgabe 3. Es sei p(x ) := a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

²

+ ... + a

_n−1

x + x

ⁿ

ein normiertes Polynom vom Grad n ∈ N mit den Koeffizienten a

0

, ..., a

_n−1

∈ R . Die Frobenius-Begleitmatrix von p ist dann definiert durch

A =







0 −a

0

1 . .. −a

₁

. .. 0 .. .

1 −a

_n−1







∈ R

^n×n

.

a) Zeigen Sie, dass p das charakteristische Polynom von A ist.

b) Betrachten Sie die Frobenius-Begleitmatrizen f¨ ur die Polynome q (x ) = (x − 1)

ⁿ

und q (x ) = p(x ) + mit > 0.

Interpretieren Sie dies im Bezug auf die (relative) Kondition der Eigenwerte in Abh¨ angigkeit von der Matrix.

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(2)

c) Sei nun λ

₁

eine einfache (reelle) Nullstelle von p mit maximalem Betrag. F¨ ur Startwerte x

0

, ..., x

n−1

∈ R \ {0} sei die Folge (x

m

)

m

⊂ R rekursiv definiert durch

x

_m+n

= −

n−1

X

k=0

a

_k

x

_m+k

, m = 0, 1, 2, ...

Man zeige, dass x

_m+1

x

m

= λ

1

+ O

λ

₂

λ

1

m

f¨ ur m → ∞

gilt, sofern x

₀

, ..., x

_n−1

passend (Wie?) gew¨ ahlt sind. Hierbei bezeichnet λ

₂

eine nach λ

1

betragsm¨ aßig gr¨ oßte Nullstelle von p.

Die Diagonalisierbarkeit der Frobenius-Begleitmatrix A darf vorausgesetzt werden.

Hinweis: Vektoriteration von A

^T

(3+2+5 Punkte)

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