Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Wintersemester 2017/2018 Prof. Dr. C. Burstedde

J. Holke

Ubungsblatt 1. ¨ Abgabe am Dienstag, 24.10.2017.

Aufgabe 1. (5 + 5 = 10 Punkte)

Es seien V ein Hilbertraum, V n ⊂ V ein endlich dimensionaler Unterraum, sowie f, y ∈ V.

Sei P n : V → V n der othogonale Projektor. Gesucht sei u ∈ y + V n , so dass u = argmin

v∈y+ V

kv − fk. (1)

Beweisen Sie folgende Aussagen:

a) u = y + P n (f − y) ist eine gesuchte L¨ osung und sie ist eindeutig (Gleichung (1.1.4) aus der Vorlesung).

b) Es sei u ⁰ ∈ y + V n , so dass hu ⁰ − f, vi = 0 f¨ ur alle v ∈ V n . Hieraus folgt, dass u ⁰ die gesuchte L¨ osung ist.

Aufgabe 2. (10 Punkte)

Betrachte den Raum der n × n Matrizen ¨ uber R ⁿ . Es sei k.k ₂ die von der euklidischen Norm induzierte Matrixnorm, d.h.

kAk ₂ = max

kxk

=1

kAxk ₂ . (2)

Zeigen Sie, dass f¨ ur eine invertierbare symmetrische Matrix A gilt:

kAkkA ⁻¹ k = λ max

λ _min , (3)

wobei λ max und λ min der betragsm¨ aßig gr¨ oßte und kleinste Eigenwert von A sind.

Hinweis: Ist U orthogonal, dann gilt kU xk ₂ = kxk ₂ . Aufgabe 3. (3 + 7 = 10 Punkte)

Es sei

A =

−1 −1 1 1

−1 1 −1 1

. a) Geben Sie eine Singul¨ arwertzerlegung A = U ΣV ^T an.

b) F¨ ur B ∈ R ^m×n sei B = U ΣV ^T eine Singul¨ arwertzerlegung von B mit Σ = diag(σ 1 , . . . , σ r , 0, . . . , 0) ∈ R ^m×n mit σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ r > 0.

Zeigen Sie, dass f¨ ur jedes B

σ 1 = max

y∈ R

,x∈ R

y ^T Bx

kyk ₂ kxk ₂ .

1

Programmieraufgabe 1. (3 + 3 + 3 + 1 = 10 Punkte)

Auf dem Raum der stetigen Funktionen f : [0, 2π] → R betrachten wir das folgende Skalarprodukt:

hf, gi = Z 2π

0

f g dx. (4)

Ferner sei n ∈ N und P _n−1 der Raum aller Polynome von Grad kleiner n. Sei [Φ] = [x ⁰ , x ¹ , . . . , x ⁿ⁻¹ ] die monomiale Basis von P n−1 .

a) Implementieren Sie die Simpsonregel, um das Integral Z 2π

0

f g dx (5)

f¨ ur zwei Funktionen f, g : [0, 2π] → R zu berechnen.

Die Funktion sollte zwei Funktionszeiger als Argumente akzeptieren und ihre Dekla- ration sollte so aussehen:

d o u b l e s i m p s o n _ q u a d r a t u r ( d o u b l e (* f ) ( d o u b l e ) , d o u b l e (* g ) ( d o u b l e ));

b) Um die Funktion h(x) = sin(x + π/8) zu projizieren, berechnen Sie mit Hilfe von (a) den Vektor f = [hh, x ⁱ i] ⁿ⁻¹ _i=0 .

c) Stellen Sie nun die Gram-Matrix zu [φ] auf. Nutzen Sie auch hierzu den Aufgaben- teil (a).

d) Vergleichen Sie f¨ ur verschiedene Werte von n die Gram-Matrix aus Teil (c) mit der Hilbertmatrix. Was f¨ allt Ihnen auf? (m¨ undlich)

Die Bearbeitung erfolgt in Zweiergruppen.

Abgabe innerhalb der Woche 30.10.–03.11.2017 in den beiden CIP-Pools.

Bitte tragen Sie sich rechtzeitig im CIP-Pool Endenicher Allee in die Abgabeliste f¨ ur diese Vorlesung ein.

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