Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Wintersemester 2017/2018 Prof. Dr. C. Burstedde

J. Holke

Ubungsblatt 8. ¨ Abgabe am Dienstag, 12.12.2017.

Aufgabe 1. (10 Punkte)

Es sei A ∈ R ^n×n symmetrisch positiv definit mit gr¨ oßtem Eigenwert λ n = 4 und klein- stem Eigenwert λ 1 = 1. Wie viele Iterationen ben¨ otigt das CG-Verfahren zur L¨ osung von Ax = b h¨ ochstens, um eine relative Genauigkeit in der k.k _A -Norm von 10 ⁻⁶ zu erreichen?

Aufgabe 2. (10 Punkte)

Eine Matrix A ∈ K ^n×n heißt zeilen¨ aquilibriert, falls gilt:

n

P

k=1

|a _jk | = 1 f¨ ur alle j = 1, . . . , n.

Weiterhin sei κ ∞ (A) = kAk _∞ kA ⁻¹ k _∞ die Konditionszahl bez¨ uglich der Maximumsnorm.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Es sei A ∈ K ^n×n zeilen¨ aquilibriert und regul¨ ar. Dann gilt f¨ ur jede regul¨ are Diagonal- matrix D ∈ K ^n×n die Absch¨ atzung κ ∞ (A) ≤ κ ∞ (DA).

b) F¨ ur eine regul¨ are Matrix A ∈ K ^n×n definiere die Diagonalmatrix T := diag(α ⁻¹ ₁ , . . . , α ⁻¹ _n ) mit α _j =

n

X

k=1

|a _jk |. (1)

Dann gilt κ ∞ (T A) ≤ κ ∞ (A).

Aufgabe 3. (10 Punkte)

Es sei D ∈ R ^n×n eine Tridiagonalmatrix mit

D =













α γ 0

β α . ..

. .. ... γ

0 β α













, βγ > 0. (2)

Zeigen Sie, dass

λ _k = α + 2 p

βγ sgn(β) cos( kπ

n + 1 ), 1 ≤ k ≤ n (3)

die Eigenwerte zu den Eigenvektoren [v _k ] _l =

β γ

sin

klπ n + 1

(4) sind.

1

Aufgabe 4. (10 Punkte)

Der Vektor x ^∗ = (0, . . . , 0, 1) ^T ∈ R ⁿ l¨ ost das lineare Gleichungssystem Ax = b mit

A =













0 1

1 . ..

. .. ...

1 0













∈ R ^n×n , b =









 1 0 .. . 0











∈ R ⁿ . (5)

Zeigen Sie, dass das GMRES-Verfahren mit x ₀ = 0 die Iterierten x ₁ = x ₂ = · · · = x n−1 = 0 und x n = x ^∗ liefert.

Bemerkung: In den ersten n−1 Schritten liefert das Verfahren f¨ ur dieses Beispiel also kei- ne Approximation an die L¨ osung und es findet zun¨ achst keine schrittweise Verbesserung statt.

2