U bildeneineorthonormaleBasis. k DieDiagonalevon R enth¨altdieEigenwerte λ von A unddieSpaltenvon n 0 ··· 0 λ n − 1 , n r R = = U AU , U =¯ U = U . ∗ ∗ t − 1 0.................. 1 1 , 2 1 , n λ r ··· r   U aufobereDreiecksformbringen: Jede n ×

(1)

Dreiecksform

Jede n × n-Matrix A l¨ asst sich durch eine unit¨ are

Ahnlichkeitstransformation ¨ U auf obere Dreiecksform bringen:

R =







λ

1

r

1,2

· · · r

1,n

0 . .. ... .. . .. . . .. ... r

n−1,n

0 · · · 0 λ

n







= U

^∗

AU, U

^∗

= ¯ U

^t

= U

⁻¹

.

Die Diagonale von R enth¨ alt die Eigenwerte λ

k

von A und die Spalten von

U bilden eine orthonormale Basis.

(2)

Beweis

Induktion ¨ uber die Dimension n:

n = 1: 1 × 1-Matrix X n − 1 → n:

Eine n × n-Matrix A hat (mindestens) einen Eigenvektor v.

Normierung und orthogonale Erg¨ anzung orthonormale Basis {v , w

1

, . . . , w

n−1

}

Ahnlichkeitstransformation mit ¨ V = (v, w

₁

, . . . , w

n−1

)

A ˜ = V

^∗

AV =





 v

^∗

w

₁^∗

.. . w

_n−1^∗







λv Aw

1

, . . . , Aw

n−1

=

λ x

^∗

0 B

,

da w

_k^∗

v = 0 und mit ¯ x

_k

= Aw

_k

, 0 = (0, . . . , 0)

^t

(3)

Induktionsvoraussetzung = ⇒

∃ unit¨ are ¨ Ahnlichkeitstransformation auf Dreiecksform f¨ ur die n − 1 × n − 1-Matrix B:

U ˜

^∗

B U ˜ = R

n−1

Mit

U = V

1 0

^∗

0 U ˜

, 0 = (0, . . . , 0)

^t

, 0

^∗

= 0

^t

folgt

U

^∗

AU =

1 0

^∗

0 U ˜

^∗

V

^∗

AV

1 0

^∗

0 U ˜

=

1 0

^∗

0 U ˜

^∗

λ x

^∗

0 B

1 0

^∗

0 U ˜

=

1 0

^∗

0 U ˜

^∗

λ x

^∗

U ˜ 0 B U ˜

=

λ x

^∗

U ˜ 0 U ˜

^∗

B U ˜

=

λ x

^∗

U ˜ 0 R

n−1

= R

(4)

Beispiel

Unit¨ are ¨ Ahnlichkeitstransformation der Matrix A =

−1 −4

1 3

auf Dreiecksform

charakteristisches Polynom p

_A

(λ) =

−1 − λ −4

1 3 − λ

= (−1 − λ)(3 − λ) + 4 = (λ − 1)

²

doppelte Nullstelle λ = 1 = ⇒ λ = 1 ist einziger Eigenwert Eigenvektor

0 0

= (A − λE )v =

−2 −4

1 2

v

1

v

₂

= ⇒ v k 2

−1

(5)

Normierung und Erg¨ anzung zu einer orthonormalen Basis {v , w } unit¨ are Transformationsmatrix