f : U → R n und (t 0 , y 0 ) ∈ U ⊂ R × R n gegeben.

(1)

•

Problemstellung: Wirbetrahten das Anfangswertproblem (AWP)

y(t) = ˙ f (t, y(t)) y ( t 0 ) = y 0 ,

auf dem Zeitintervall

[t 0 , T _{EN D} ]

^mit

f : U → R ⁿ

^und

(t 0 , y 0 ) ∈ U ⊂ R × R ⁿ

^gegeben.

Notation:

y ^′ ( x ) = f ( x, y ( x )) y(x 0 ) = y 0 .

•

^Sätze ^von ^Cauhy ^und ^Peano ^(Existenz ^und Eindeutigkeitder Lösung des AWPs).

•

^Für^eine^Zerlegung

x _k = x 0 +kh

⁽

k = 1, 2, . . .

⁾^mit^konstanterShrittweite

h

^des^Intervalls

[ x 0 , X _End ]

^, ^denieren ^wir ^ein^explizites Einshrittverfahren

y _k +1 = y _k + hΦ(x k , y _k , h), k = 0, 1, 2, . . . .

Der lokale Fehler ist

y(x 0 + h) − y 1

^. ^Ein ^solhes ^Verfahren ^hat ^Ordnung

p

^falls

y(x 0 + h) − y 1 = O (h ^p+1 )

^für

h → 0

ûnd âlle Â^WP ^mit

f

^genügend dierenzierbar. Nah dem Konvergenz-Satz,ist der globale Fehler

O (h ^p )

^.

•

^Seien

s ≥ 1

^eine ^ganze ^Zahl,

b _i , a _ij ∈ R

^für

i = 1, . . . , s

^und

j = 1, . . . , i − 1

^,

c 1 = 0

^und

c _i =

i − 1

X

j=1

a _ij

^. ^Das ^numerishe ^V^erfahren



 



 



k 1 = f(t 0 , y 0 )

k 2 = f(t 0 + c 2 h, y 0 + ha 21 k 1 ) . . .

k _s = f(t 0 + c _s h, y 0 + h

s− 1

X

j =1

a _sj k _j )

y 1 = y 0 + h

s

X

j =1

b _j k _j

heisst ein

s

^-stuges ^explizites Runge-Kutta Verfahren. Notation:

c 0 2 a 21

c 3 a 31 a 32

.

. .

.

. .

.

c _s a _s 1 a _s 2 . . .

.

a _s,s− 1

b 1 b 2 . . . b _s ₋ 1 b _s

(2)

•

^Adaptive ^Steuerung ^von Einshrittverfahren. Für eine gegebene Toleranz TOL und die Parametern

η _max , η _min

^, ^lautet ^der Algorithmus:

x 0 , y 0 , h

•

^Berehne

y 2 , y, ˆ

^ERR

, y ˆ 2 , h

opt

•

ERR

≤

^TOL ^?

h = h

opt

• x 0 = x 0 + 2 h, y 0 = ˆ y 2 , h = h

opt Ja

Nein

f : U → R n und (t 0 , y 0 ) ∈ U ⊂ R × R n gegeben.

•

y(t) = ˙ f (t, y(t)) y ( t 0 ) = y 0 ,

[t 0 , T EN D ]

f : U → R n

(t 0 , y 0 ) ∈ U ⊂ R × R n

y ′ ( x ) = f ( x, y ( x )) y(x 0 ) = y 0 .

•

•

x k = x 0 +kh

k = 1, 2, . . .

h

[ x 0 , X End ]

y k +1 = y k + hΦ(x k , y k , h), k = 0, 1, 2, . . . .

y(x 0 + h) − y 1

p

y(x 0 + h) − y 1 = O (h p+1 )

h → 0

f

O (h p )

•

s ≥ 1

b i , a ij ∈ R

i = 1, . . . , s

j = 1, . . . , i − 1

c 1 = 0

c i =

i − 1

X

j=1

a ij



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



k 1 = f(t 0 , y 0 )

k 2 = f(t 0 + c 2 h, y 0 + ha 21 k 1 ) . . .

k s = f(t 0 + c s h, y 0 + h

s− 1

X

j =1

a sj k j )

y 1 = y 0 + h

s

X

j =1

b j k j

s

c 0 2 a 21

c 3 a 31 a 32

c s a s 1 a s 2 . . .

a s,s− 1

b 1 b 2 . . . b s − 1 b s

•

η max , η min

x 0 , y 0 , h

•

y 2 , y, ˆ

, y ˆ 2 , h

•

≤

h = h

• x 0 = x 0 + 2 h, y 0 = ˆ y 2 , h = h

[t 0 , T _{EN D} ]

f : U → R ⁿ

(t 0 , y 0 ) ∈ U ⊂ R × R ⁿ

y ^′ ( x ) = f ( x, y ( x )) y(x 0 ) = y 0 .

x _k = x 0 +kh

[ x 0 , X _End ]

y _k +1 = y _k + hΦ(x k , y _k , h), k = 0, 1, 2, . . . .

y(x 0 + h) − y 1 = O (h ^p+1 )

O (h ^p )

b _i , a _ij ∈ R

c _i =

a _ij

k _s = f(t 0 + c _s h, y 0 + h

a _sj k _j )

b _j k _j

c _s a _s 1 a _s 2 . . .

a _s,s− 1

b 1 b 2 . . . b _s ₋ 1 b _s

η _max , η _min