u t − ku xx = 0 auf R × (0, ∞) u(x, 0) = 0 f ¨ ur x < 0 u(x, 0) = 1 f ¨ ur x > 0.

(1)

PDDr. P.Ne

K.Stavrakidis

SS2007

12.07.2007

9. Übungsblatt zur

Vorlesung Elementare Partielle

Dierentialgleihungen

Übung

Aufgabe 1 (Wärmeleitungsgleihung mitunstetigen Randbedingungen)

L ösenSiefolgende Wärmeleitungsgleihung:

u t − ku xx = 0 auf R × (0, ∞) u(x, 0) = 0 f ¨ ur x < 0 u(x, 0) = 1 f ¨ ur x > 0.

Hinweis: BenutzenSie denAnsatz

u(x, t) = f ( √ ^x 4 kt )

^.

Aufgabe 2 (Wellengleihung I)

Es seien

g ∈ C ² ( R ), k ∈ C ¹ ( R )

^und

u : R × R ⁺ → R

^sei ^gegeben ^als

u(x, t) := 1

2 [g(x + t) + g(x − t)] + 1 2

x + t

Z

x − t

k(y)dy.

Danngilt:

(a)

u ∈ C ² ( R × [0, ∞))

(b)

u tt − u xx = 0, x ∈ R , t > 0

()

u(x, 0) = g(x), x ∈ R

(d)

u t (x, 0) = k(x), x ∈ R

(2)

S eien

Ω

^ein beshränktes Gebiet und

T > 0

^. ^Wir ^denieren ^mit

Ω ^T

^den ^Raum-

Zeit-Zylinder

Ω T := Ω × (0, T ]

^.^Wir^denieren ^den parabolishen Rand

Γ T

^als

Γ T :=

{(x, t) ∈ ∂Ω T : t < T oder x ∈ ∂Ω}

^.

WirbetrahtendieWellengleihung

u tt − ∆u = f in Ω T

u = g auf Γ T

u t = h auf Ω × {0}.

Zeige: Es existiert maximaleine Lösung.

Hinweis: Benutze die Energie-Methode aus dem Skript für die Wärmeleitungsglei-

u t − ku xx = 0 auf R × (0, ∞) u(x, 0) = 0 f ¨ ur x < 0 u(x, 0) = 1 f ¨ ur x > 0.

u t − ku xx = 0 auf R × (0, ∞) u(x, 0) = 0 f ¨ ur x < 0 u(x, 0) = 1 f ¨ ur x > 0.

u(x, t) = f ( √ ^x 4 kt )

g ∈ C ² ( R ), k ∈ C ¹ ( R )

u : R × R ⁺ → R

u(x, t) := 1

2 [g(x + t) + g(x − t)] + 1 2

x + t

Z

x − t

k(y)dy.

u ∈ C ² ( R × [0, ∞))

u tt − u xx = 0, x ∈ R , t > 0

u(x, 0) = g(x), x ∈ R

u t (x, 0) = k(x), x ∈ R

Ω

T > 0

Ω ^T

Ω T := Ω × (0, T ]

Γ T

Γ T :=

{(x, t) ∈ ∂Ω T : t < T oder x ∈ ∂Ω}

u tt − ∆u = f in Ω T

u = g auf Γ T

u t = h auf Ω × {0}.

e(t) := 1 2

Z

Ω

w ² t (x, t) + |∇w(x, t)| ² dx.

u t − ku xx = 0 auf R × (0, ∞) u(x, 0) = 0 f ¨ ur x < 0 u(x, 0) = 1 f ¨ ur x > 0.

u t − ku xx = 0 auf R × (0, ∞) u(x, 0) = 0 f ¨ ur x < 0 u(x, 0) = 1 f ¨ ur x > 0.

u(x, t) = f ( √ x 4 kt )

g ∈ C 2 ( R ), k ∈ C 1 ( R )

u : R × R + → R

u(x, t) := 1

2 [g(x + t) + g(x − t)] + 1 2

x + t

Z

x − t

k(y)dy.

u ∈ C 2 ( R × [0, ∞))

u tt − u xx = 0, x ∈ R , t > 0

u(x, 0) = g(x), x ∈ R

u t (x, 0) = k(x), x ∈ R

Ω

T > 0

Ω T

Ω T := Ω × (0, T ]

Γ T

Γ T :=

{(x, t) ∈ ∂Ω T : t < T oder x ∈ ∂Ω}

u tt − ∆u = f in Ω T

u = g auf Γ T

u t = h auf Ω × {0}.

e(t) := 1 2

Z

Ω

w 2 t (x, t) + |∇w(x, t)| 2 dx.

u(x, t) = f ( √ ^x 4 kt )

g ∈ C ² ( R ), k ∈ C ¹ ( R )

u : R × R ⁺ → R

u ∈ C ² ( R × [0, ∞))

Ω ^T

w ² t (x, t) + |∇w(x, t)| ² dx.